2012-重庆卷理-12 填-数列极限

本题导读

本题考查数列极限的求法，以及无理分式的不定式极限。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(理)） ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{\sqrt{n^2+5n}-n}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别极限类型：当 $n\to \infty$ 时，分母中的 $\sqrt{n^2+5n}\to \infty$，且 $n\to \infty$。分母整体属于“$\infty -\infty$”型的未定式结构，无法直接得出结果，必须进行代数变形。
2. 应用分母有理化：利用平方差公式 $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$，给分式分子和分母同时乘以有理化共轭因式 $\sqrt{n^2+5n}+n$。
3. 消除分母不定项：展开后分母的二次项 $n^2$ 与 $-n^2$ 相互抵消，分母退化为一次式 $5n$。
4. 抓大头提取最高次项：将分子和分母同时除以 $n$（或将根号下的 $n^2$ 提出来化为 $1+\frac{5}{n}$）。利用当 $n\to \infty$ 时 $\frac{5}{n}\to 0$ 的极限性质，直接代入求出精确常数。

✅【答案】

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$\frac{2}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

题目要求计算数列极限： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{\sqrt{n^2+5n}-n}$

由于分母属于 $\infty -\infty$ 型未定式，我们对分式的分母进行有理化。 分子与分母同时乘以共轭因式 $\sqrt{n^2+5n}+n$： $={\lim }_{n\to \infty }\frac{1\times (\sqrt{n^2+5n}+n)}{(\sqrt{n^2+5n}-n)(\sqrt{n^2+5n}+n)}$

利用乘法平方差公式展开分母： $={\lim }_{n\to \infty }\frac{\sqrt{n^2+5n}+n}{(\sqrt{n^2+5n}{)}^2-n^2}$ $={\lim }_{n\to \infty }\frac{\sqrt{n^2+5n}+n}{(n^2+5n)-n^2}$

消去分母上的互为相反数的二次项 $n^2$ 与 $-n^2$，化简得： $={\lim }_{n\to \infty }\frac{\sqrt{n^2+5n}+n}{5n}$

此时，分式变为 $\frac{\infty }{\infty }$ 型。由于分子和分母的最高次数均为 1 次，分子和分母同时除以自变量 $n$： $={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{\sqrt{n^2+5n}}{n}+\frac{n}{n}}{\frac{5n}{n}}$

将分母上的 $n$ 移入根号内变为 $n^2$： $={\lim }_{n\to \infty }\frac{\sqrt{\frac{n^2+5n}{n^2}}+1}{5}={\lim }_{n\to \infty }\frac{\sqrt{1+\frac{5}{n}}+1}{5}$

根据数列极限的运算法则，当 $n\to \infty$ 时，无穷小量 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{5}{n}=0$。 直接代入极限值进行常量计算： $=\frac{\sqrt{1+0}+1}{5}=\frac{1+1}{5}=\frac{2}{5}$

填空题答案为：$\frac{2}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共轭因式有理化法则、无穷小量基本性质 $\lim \frac{1}{n}=0$、最高次项系数决定无穷大分式极限值。
2. 核心方法：分母有理化法与抓大头通法。在研究含根式的无穷大减无穷大（ $\infty -\infty$ ）或者无穷大除以无穷大（ $\frac{\infty }{\infty }$ ）的不定式时，通过乘共轭项把根号从分母（或分子）上赶走，然后锁定分子与分母的“最高次项系数比”，是解决此类问题的标准解法。
3. 避坑指南：

• 移入根号幂次弄错：在将 $n$ 缩减移入根号内部时，部分考生误记为直接除以 $n$，错写成 $\sqrt{1+5}$。记住：自变量 $n$ 移入二次根号内部必须平方变为 $n^2$。
• 分母平方差展开符号混淆：在计算 $(\sqrt{n^2+5n}-n)(\sqrt{n^2+5n}+n)$ 时，需注意括号去调后整体符号，避免因粗心错写成 $n^2-5n-n^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学（老教材选修2-3或部分新教材高三导数前置预备微积分模块）中关于数列极限与数学分析基础的经典大题。在高等数学微积分中属于最基础的初等极限模型。
2. 结论推广:

• 二次无理分式不定式极限通用快速模型：对于任意形如 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{\sqrt{n^2+An}-n}(A>0)$ 的标准对称极限表达式。
• 经上述共轭因式有理化及最高次项提取后，二次项恒在分母抵消，分母的一次项系数恒为 $A$，而分子的一次特征大头系数恒为 $1+1=2$。
• 由此可直接归纳提炼出求解此类无理极限的完全一般化通用推广快捷公式： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{\sqrt{n^2+An}-n}=\frac{2}{A}$
• 本题中特征项系数 $A=5$，我们直接套用此推广公式进行口算： $\text{结果}=\frac{2}{5}$。熟记这一模型系数对应关系，在面对任何同类型二次无理差的分式极限时，均可实现直接直接得出出正确答案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷理-08 填-等比数列的通项与求和
• 1986-全国理-14 填-数列的极限
• 1987-全国卷理-12 填-数列的极限