2012-陕西卷文-01 单-集合的交集

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及对数不等式与二次不等式。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 集合 $M=\{x\mid \lg x>0\}$，$N=\{x\mid x^2⩽4\}$，则 $M\cap N=$()

A. $(1,2)$　　　　　B. $[1,2)$　　　　　C. $(1,2]$　　　　　D. $[1,2]$

🔍【思路分析】

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$\lg x>0⟺x>1$，$x^2⩽4⟺-2⩽x⩽2$，故 $M\cap N=(1,2]$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $\lg x>0$ 得 $x>1$，所以 $M=(1,+\infty )$。

由 $x^2⩽4$ 得 $-2⩽x⩽2$，所以 $N=[-2,2]$。

因此 $M\cap N=(1,2]$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数不等式的解法；一元二次不等式的解法；交集运算

核心方法：先把两个集合分别化简为区间，再按”取公共部分”求交集

避坑指南：$\lg x>0$ 的解是 $x>1$ 而不是 $x>0$（$\lg 1=0$，真数必须严格越过 $1$）；端点 $2$ 属于 $N$ 也属于 $M$，端点 $1$ 不属于 $M$，开闭不能弄反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合交集运算题，与 2013 年四川卷文第 1 题、2013 年新课标Ⅰ文第 1 题同族。

结论推广：$\lg x>0⟺x>10^0=1$；$\{x\mid x^2⩽a\}$（$a>0$）$=[-\sqrt{a},\sqrt{a}]$。含对数、平方的集合题先把描述法化成区间再运算。

方法推广：集合运算选择题按”化简每个集合 → 数轴上取公共部分 → 核对端点开闭”三步完成。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-01 单-集合交集
• 2012-浙江卷文-01 单-集合补集交集
• 2013-新课标I卷文-01 单-集合交集