2012-陕西卷理-11 填-归纳推理

本题导读

本题考查归纳推理，以及从具体不等式猜想一般规律。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)）

观察下列不等式：

$1+\frac{1}{2^2}<\frac{3}{2}$，

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}<\frac{5}{3}$，

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}<\frac{7}{4}$，

$\cdots \cdots$

照此规律，第五个不等式为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 观察规律：第 $n$ 个不等式左边加到 $\frac{1}{(n+1{)}^2}$，右边为 $\frac{2n+1}{n+1}$。

2. 第五个不等式：左边加到 $\frac{1}{6^2}$，右边 $\frac{11}{6}$。

3. 写出完整不等式。

✅【答案】

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$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}<\frac{11}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

观察：第 1 个左边 $1+\frac{1}{2^2}$，右边 $\frac{3}{2}$；第 2 个左边加到 $\frac{1}{3^2}$，右边 $\frac{5}{3}$；第 3 个加到 $\frac{1}{4^2}$，右边 $\frac{7}{4}$。

规律：第 $n$ 个左边加到 $\frac{1}{(n+1{)}^2}$，右边 $\frac{2n+1}{n+1}$。

第五个：左边加到 $\frac{1}{6^2}$，右边 $\frac{11}{6}$。

故第五个不等式为 $1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}<\frac{11}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：归纳推理

核心方法：数列不等式的规律

避坑指南：观察归纳法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于归纳推理

结论推广：可推广到更一般的归纳猜想

方法推广：从有限个式子归纳出通式

🔗【关联脉络】

Multi column

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