2013-上海卷文-04 填-二阶行列式

本题导读

本题考查二阶行列式，以及行列式的展开。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 若 $\left|\begin{array}{cc}x& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=0$，$\left|\begin{array}{cc}x& y\\ 1& 1\end{array}\right|=1$，则 $x+y=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一个：$x\times 1-2\times 1=x-2=0$ → $x=2$。
2. 第二个：$x\times 1-y\times 1=x-y=1$，代 $x=2$ → $y=1$。
3. $x+y=3$。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

由二阶行列式的定义（主对角线之积减副对角线之积）： $\left|\begin{array}{cc}x& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=x\times 1-2\times 1=x-2=0,$ 解得 $x=2$。 $\left|\begin{array}{cc}x& y\\ 1& 1\end{array}\right|=x\times 1-y\times 1=x-y=1,$ 代入 $x=2$ 得 $y=1$。 所以 $x+y=2+1=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二阶行列式的展开

核心方法：$\left|\begin{array}{cc}x& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=x-2=0$ → $x=2$；$\left|\begin{array}{cc}x& y\\ 1& 1\end{array}\right|=x-y=1$ → $y=1$；$x+y=3$

避坑指南：二阶行列式 = 主对角线之积 减 副对角线之积，别写成相加；两个方程是先后解的关系：先由第一个解出 $x$，再代入第二个求 $y$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：行列式是上海教材特色考点（全国卷不考），与 2014 上海文 18 的”行列式判定方程组解”同源。

结论推广：二阶行列式 $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$；它同时是二元一次方程组 $\{\begin{array}{l}ax+by=e\\ cx+dy=f\end{array}$ 解的判据（$D\ne 0$ 时有唯一解）。

方法推广：展开含字母的行列式时按”主对角线乘积减副对角线乘积”逐项落笔，字母多时先代数字行列式求出确定量，再解含字母的那个。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-18 单-方程组解的判定
• 1981-全国卷理-05
• 1982-全国卷理-03(1)