2013-上海卷理-04 填-余弦定理

本题导读

本题考查余弦定理，以及反三角函数。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 已知 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对应的边分别为 $a,b,c$.若 $3a^2+2ab+3b^2-3c^2=0$，则角 $C$ 的大小是 $\underline{}$（结果用反三角函数值表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察结构：已知式中含有 $a^2,b^2,c^2,ab$，这种项的组合模式与余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 高度吻合。
2. 变形目标：将已知式整理为 $c^2=a^2+b^2+\dots$ 或直接提取出 $\cos C$ 的表达式。
3. 求解数值：对比系数求得 $\cos C$ 的值。
4. 反三角表达：根据余弦值及三角形内角范围（$C\in (0,\pi )$），写出 $C$ 的反三角函数表达式。注意反余弦函数 $\arccos x$ 的值域即为 $[0,\pi ]$。

✅【答案】

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$\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$ 或 $\pi -\arccos \frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：整理已知等式 由 $3a^2+2ab+3b^2-3c^2=0$，移项并将 $c^2$ 项单独分出： $3c^2=3a^2+3b^2+2ab$ 等式两边同时除以 $3$ 得： $c^2=a^2+b^2+\frac{2}{3}ab$

第二步：利用余弦定理建立联系 根据余弦定理： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 比较上述两个关于 $c^2$ 的表达式，可得： $-2ab\cos C=\frac{2}{3}ab$

第三步：计算 $\cos C$ 由于 $a,b$ 是三角形边长，故 $ab\ne 0$。两边同时约去 $2ab$ 得： $-\cos C=\frac{1}{3}⟹\cos C=-\frac{1}{3}$

第四步：用反三角函数表示角 $C$ 在 $△ABC$ 中，$0<C<\pi$。 因为 $\cos C=-1/3<0$，说明角 $C$ 为钝角。 根据反余弦函数的定义，$C=\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$。 利用诱导公式 $\arccos (-x)=\pi -\arccos x$，也可以表示为： $C=\pi -\arccos \frac{1}{3}$ （注：通常直接写为 $\arccos (-1/3)$ 亦可，真题标准答案多倾向于这种表达或图中所示表达）。

故填入答案为：$\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$ 或 $\pi -\arccos \frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理的变形应用。

核心方法：“待定系数对比法”。通过对比已知式与标准定理公式，锁定对应的参数。

避坑指南：反三角函数的书写。对于余弦值为负的情况，结果应为钝角。由于 $\arccos x$ 的定义域为 $[-1,1]$，值域为 $[0,\pi ]$，因此 $\arccos (-1/3)$ 已经能够完整表达这个钝角，无需额外修饰，除非题目有特殊化简要求。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$。

结论推广：若 $a^2+b^2-c^2=-ab$，则 $C=60^{\circ }$；若 $a^2+b^2-c^2=ab$，则 $C=120^{\circ }$。

方法推广：当题目中出现边长的二次项组合时，首选余弦定理；出现边长的一次项与正弦函数组合时，首选正弦定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-05 单-余弦定理
• 2015-广东卷文-05 单-余弦定理
• 2013-上海卷文-05 填-余弦定理求角