2013-上海卷文-05 填-余弦定理求角

本题导读

本题考查余弦定理，以及特殊角的三角函数值。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 已知 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别是 $a,b,c$.若 $a^2+ab+b^2-c^2=0$，则角 $C$ 的大小是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 移项：$a^2+b^2-c^2=-ab$。
2. 余弦定理：$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{-ab}{2ab}=-\frac{1}{2}$。
3. $C\in (0,\pi )$ 且 $\cos C=-\frac{1}{2}$ → $C=\frac{2\pi }{3}$。

✅【答案】

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$\frac{2\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由已知 $a^2+ab+b^2-c^2=0$，移项得 $a^2+b^2-c^2=-ab.$ 由余弦定理 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{-ab}{2ab}=-\frac{1}{2}.$ 因为 $C\in (0,\pi )$，且 $\cos C=-\frac{1}{2}$，所以 $C=\frac{2\pi }{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理与角的大小

核心方法：$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，由条件 $a^2+b^2-c^2=-ab$ → $\cos C=-\frac{1}{2}$ → $C=\frac{2\pi }{3}$

避坑指南：把条件 $a^2+ab+b^2-c^2=0$ 移项成 $a^2+b^2-c^2=-ab$ 再整体代入余弦定理，别试图单独解出某条边；$\cos C<0$ 说明 $C$ 是钝角，若取 $C=\frac{\pi }{3}$ 就是丢掉了负号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“齐次二次条件 + 余弦定理定角”是解三角形填空题的标准套路，与 2013 安徽文 9 的求角题同法。

结论推广：若条件形如 $a^2+k{b}^2+\lambda ab=c^2$，移项后整体代入 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，即得关于 $C$ 的三角方程。

方法推广：解三角形中”边的关系”转”角的值”，第一反应就是余弦定理的分子恰是 $a^2+b^2-c^2$ 这个组合；把条件凑成这个组合是关键动作。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-09 单-解三角形求角
• 2013-天津卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2013-大纲卷文-18 解-解三角形求角