2013-上海卷理-08 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及排列组合应用。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 盒子中装有编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 $\underline{}$（结果用最简分数表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析乘积奇偶性规律：
   • 两个整数之积为奇数 $⟺$ 两个数均为奇数（奇 $\times$ 奇 = 奇）。
   • 两个整数之积为偶数 $⟺$ 至少有一个数是偶数（偶 $\times$ 偶 = 偶，偶 $\times$ 奇 = 偶）。
2. 选择解题策略：
   • 直接法：计算“一奇一偶”和“两偶”的情况数，相加后除以总数。
   • 间接法（推荐）：由于“积为偶数”的情况较多，计算其对立事件“积为奇数”更为简便。概率公式为 $P=1-P(\text{积为奇数})$。
3. 计算步骤：
   • 确定样本空间总数 $N=C_9^2$。
   • 统计奇数和偶数的个数。
   • 计算两个数均为奇数的情况数 $m=C_{\text{奇}}^2$。
   • 代入公式求解。

✅【答案】

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$\frac{13}{18}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分类统计 在 1 至 9 这九个编号中：

• 奇数为：1, 3, 5, 7, 9（共 5 个）；
• 偶数为：2, 4, 6, 8（共 4 个）。

第二步：计算样本空间总数 从 9 个球中任取 2 个，总的方法数为： $C_9^2=\frac{9\times 8}{2\times 1}=36$

第三步：计算对立事件（积为奇数）的情况数 积为奇数要求取出的两个球编号均为奇数。从 5 个奇数球中任取 2 个，方法数为： $C_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$

第四步：求最终概率 利用对立事件概率公式： $P(\text{积为偶数})=1-P(\text{积为奇数})=1-\frac{C_5^2}{C_9^2}$ $P=1-\frac{10}{36}=1-\frac{5}{18}=\frac{13}{18}$

故填入答案为：$\frac{13}{18}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型的定义 $P(A)=\frac{m}{n}$；对立事件的概率性质。

核心方法：“正难则反”。在概率和计数问题中，看到“至少”、“至多”、“为偶数（指积）”等词汇时，应优先考虑对立事件。

避坑指南：- 编号 1-9 中奇偶数的个数不要数错（奇数 5 个，偶数 4 个）。 - 确保最后结果化简为最简分数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：和的奇偶性规律（同性为偶，异性为奇）。

结论推广：若从 $n$ 个数（其中 $m$ 个奇数）中任取 $k$ 个，积为偶数的概率为 $1-\frac{C_m^k}{C_n^k}$。

方法推广：“正难则反”。在概率和计数问题中，看到“至少”、“至多”、“为偶数（指积）”等词汇时，应优先考虑对立事件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-04 单-古典概型
• 2015-广东卷文-07 单-古典概型
• 2015-山东卷文-16 解-古典概型