2015-新课标I卷文-04 单-古典概型

本题导读

新定义”勾股数”外壳的古典概型题。总数 ${\mathrm{C}}_5^3=10$，勾股数组只有 $\{3,4,5\}$ 一组，直接得概率。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数. 从 $1,2,3,4,5$ 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为 ()

A. $\frac{3}{10}$　　　　　　B. $\frac{1}{5}$　　　　　　C. $\frac{1}{10}$　　　　　　D. $\frac{1}{20}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总数：从 5 个数取 3 个，${\mathrm{C}}_5^3=10$。
2. 满足 $a^2+b^2=c^2$ 的只有 $3,4,5$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

从 $1,2,3,4,5$ 中任取 3 个不同的数，取法共 ${\mathrm{C}}_5^3=10$ 种.

其中能构成直角三角形三边的只有 $3,4,5$（$3^2+4^2=5^2$）这一组，其余 9 组均不满足勾股关系.

故所求概率 $P=\frac{1}{10}$，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型；组合数计数。

2. 核心方法：“新定义 + 古典概型”：先算样本空间总数，再列举有利事件数。

3. 避坑指南：勾股数与顺序无关（$\{3,4,5\}$ 只算一组），别按排列数 ${\mathrm{A}}_5^3$ 计算导致概率出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“文化/生活情境 + 古典概型”是全国卷概率小题的常见包装，情境再花哨，骨架仍是 $P=\frac{m}{n}$。

2. 结论推广: 若改为从 $1\sim 6$ 中取 3 个数，则勾股数组有 $\{3,4,5\}$，总数 ${\mathrm{C}}_6^3=20$，概率降为 $\frac{1}{20}$（即选项 D 的来源）。

3. 方法推广: 古典概型三步：定样本空间（注意是否计序）→ 数有利事件 → 求比值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I文-3
• 2014-新课标I卷理-05 单-古典概型