2013-北京卷理-04 单-程序框图

本题导读

本题考查算法初步，以及程序框图。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） 执行如图所示的程序框图，输出的 $S$ 值为()

A. $1$　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　C. $\frac{13}{21}$　　　　　　D. $\frac{610}{987}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初始化：输入初始变量 $i=0$，$S=1$。

2. 进入循环体：

   • 第一步：更新 $S$ 的值，计算公式为 $S=\frac{S^2+1}{2S+1}$。

   • 第二步：累加计数器 $i=i+1$。

3. 条件判断：检查 $i\ge 2$ 是否成立。

   • 若不成立（否），返回循环体继续计算。

   • 若成立（是），跳出循环并输出当前的 $S$ 值。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

第一轮循环：

• 初始状态：$i=0,S=1$。

• 计算 $S$：$S=\frac{1^2+1}{2\times 1+1}=\frac{2}{3}$。

• 更新 $i$：$i=0+1=1$。

• 判断条件：$1\ge 2$ 不成立，执行“否”路径，继续循环。

第二轮循环：

• 当前状态：$i=1,S=\frac{2}{3}$。

• 计算 $S$：

  $S=\frac{(\frac{2}{3}{)}^2+1}{2\times \frac{2}{3}+1}=\frac{\frac{4}{9}+1}{\frac{4}{3}+1}=\frac{\frac{13}{9}}{\frac{7}{3}}$

  $S=\frac{13}{9}\times \frac{3}{7}=\frac{13}{21}$

• 更新 $i$：$i=1+1=2$。

• 判断条件：$2\ge 2$ 成立，执行“是”路径。

输出结果：

• 输出 $S=\frac{13}{21}$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直到型循环结构（先执行循环体，后判断条件）。

核心方法：对于这类题目，手动模拟运行是最保险的方法。建议在草稿纸上建立 $i$ 和 $S$ 的值变化表，避免计算混淆。

避坑指南：注意 $i$ 的增加位置。如果 $i=i+1$ 在判断框之后，循环次数会不同。此外，繁分数的计算需要耐心。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：算法的特征（有限性、确定性等）、基本逻辑结构。

结论推广：若将判断条件改为 $i\ge 3$，则需进行第三轮迭代，计算量会显著增加。

方法推广：涉及程序框图的题目，需分清“当型循环”（满足条件进入）和“直到型循环”（满足条件退出）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-07 单-程序框图
• 2015-福建卷文-04 单-程序框图
• 2015-湖南卷文-05 单-程序框图