2013-北京卷理-15 解-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于待定系数法、检验排除法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$a=3$，$b=2\sqrt{6}$，$B=2A$.

(1)求 $\cos A$ 的值；

(2)求 $c$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求 $\cos A$）：

   • 已知 $a,b$ 及角 $B=2A$ 的关系，自然联想到正弦定理。

   • 建立方程 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，将 $B=2A$ 代入，利用二倍角公式 $\sin 2A=2\sin A\cos A$ 消去 $\sin A$，从而求得 $\cos A$。

2. 第二问（求 $c$）：

   • 已知 $a,b$ 和 $\cos A$，利用余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 建立关于 $c$ 的二次方程。

   • 解方程得到两个根后，必须结合三角形的几何约束（如大边对大角、边长关系等）进行检验，舍去不合题意的解。

✅【答案】

点击查看答案

$c=5$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解：

在 $△ABC$ 中，$a=3$，$b=2\sqrt{6}$，$B=2A$。

由正弦定理得：

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$

即

$\frac{3}{\sin A}=\frac{2\sqrt{6}}{\sin 2A}$

利用二倍角公式 $\sin 2A=2\sin A\cos A$：

$\frac{3}{\sin A}=\frac{2\sqrt{6}}{2\sin A\cos A}$

由于 $\sin A\ne 0$，约去后得：

$3=\frac{\sqrt{6}}{\cos A}⟹\cos A=\frac{\sqrt{6}}{3}$

（Ⅱ）解：

由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 得：

$3^2=(2\sqrt{6}{)}^2+c^2-2\cdot 2\sqrt{6}\cdot c\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$

化简：

$9=24+c^2-4\cdot 2c$

$c^2-8c+15=0$

解这个方程：

$(c-3)(c-5)=0$

得 $c=3$ 或 $c=5$。

检验：

① 当 $c=3$ 时，此时 $a=c=3$，则 $△ABC$ 是等腰三角形，故 $A=C$。

由 $B=2A$ 及 $A+B+C=180^{\circ }$ 可得 $A+2A+A=180^{\circ }⟹A=45^{\circ }$。

此时 $B=90^{\circ }$，$△ABC$ 为等腰直角三角形。

但在等腰直角三角形中，斜边 $b$ 应满足 $b=\sqrt{a^2+c^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。

本题已知 $b=2\sqrt{6}=\sqrt{24}$，而 $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$，两者不符，故 $c=3$ 舍去。

② 当 $c=5$ 时，代入余弦定理验证：

$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{9+25-24}{2\cdot 3\cdot 5}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$。

而 $\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1=2(\frac{\sqrt{6}}{3}{)}^2-1=2\cdot \frac{6}{9}-1=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$。

满足 $\cos B=\cos 2A$，且 $A,B\in (0,\pi )$，故 $B=2A$ 成立。

综上，$c=5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理处理边角比例，余弦定理求解第三边。

核心方法：“代数化”。将几何条件转化为方程组，是解三角形最通用的逻辑。

避坑指南：解二次方程出的两个值一定要回代检验！尤其是在给定 $B=2A$ 这种强限制条件时，$c=3$ 虽然满足边长计算，但不满足角的关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：海伦公式、三角形面积公式。

结论推广：在三角形中，若 $B=2A$，则恒有边长关系 $b^2=a(a+c)$。验证本题：$(2\sqrt{6}{)}^2=24$；$3(3+5)=24$，公式成立。

方法推广：涉及多解讨论时，利用“大边对大角”性质（本题 $b>a⟹B>A$ 始终满足）可以快速辅助判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理
• 2014-湖北卷文-13 填-正弦定理
• 2014-江西卷文-05 单-正弦定理