2013-四川卷文-10 单-复合函数方程

本题导读

本题考查函数与方程，以及函数的单调性与值域。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(文)） 设函数 $f(x)=\sqrt{{\mathrm{e}}^x+x-a}$（$a\in \mathbf{R}$，$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数）．若存在 $b\in [0,1]$ 使 $f(f(b))=b$ 成立，则 $a$ 的取值范围是()

A. $[1,\mathrm{e}]$　　　　B. $[1,1+\mathrm{e}]$　　　　C. $[\mathrm{e},1+\mathrm{e}]$　　　　D. $[0,1]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $u=f(b)⩾0$，则 $u^2={\mathrm{e}}^b+b-a$，$b^2={\mathrm{e}}^u+u-a$。
2. 相减：${\mathrm{e}}^b+b-({\mathrm{e}}^u+u)=u^2-b^2$；$g(t)={\mathrm{e}}^t+t$ 严格递增，$u\ne b$ 时两端异号，矛盾 → $u=b$。
3. 代回 $a={\mathrm{e}}^b+b-b^2$，$h^{\prime }(b)={\mathrm{e}}^b+1-2b⩾2-b>0$ → $a\in [1,\mathrm{e}]$ → A。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

**第一步：换元。**令 $u=f(b)$，则 $u⩾0$ 且 $u^2={\mathrm{e}}^b+b-a,b^2={\mathrm{e}}^u+u-a.$ **第二步：逼出 $u=b$。**两式相减： ${\mathrm{e}}^b+b-({\mathrm{e}}^u+u)=u^2-b^2.$ 令 $g(t)={\mathrm{e}}^t+t$，它在 $\mathbf{R}$ 上严格递增。 若 $u>b$：左端 $g(b)-g(u)<0$，右端 $u^2-b^2>0$，矛盾； 若 $u<b$：左端为正、右端为负，也矛盾。 故只能 $u=b$。 **第三步：求 $a$ 的范围。**代回得 $b^2={\mathrm{e}}^b+b-a$，即 $a=h(b)={\mathrm{e}}^b+b-b^2.$ 在 $[0,1]$ 上，由 ${\mathrm{e}}^b⩾1+b$ 得 $h^{\prime }(b)={\mathrm{e}}^b+1-2b⩾(1+b)+1-2b=2-b>0$，故 $h$ 严格递增， $h(0)=1,h(1)=\mathrm{e},$ 所以 $a\in [1,\mathrm{e}]$。 反向验证存在性：对任意 $a\in [1,\mathrm{e}]$，由 $h$ 在 $[0,1]$ 上连续且严格递增，存在 $b\in [0,1]$ 使 $a=h(b)$；此时 ${\mathrm{e}}^b+b-a=b^2$，故 $f(b)=\sqrt{b^2}=b$（$b⩾0$），进而 $f(f(b))=b$ 成立。 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数方程与单调性

核心方法：$u=f(b)$ 与 $b=f(u)$ 对称，$g(t)={\mathrm{e}}^t+t$ 严格递增 → $u=b$ → $a={\mathrm{e}}^b+b-b^2\in [1,\mathrm{e}]$ → A

避坑指南：两个对称等式相减后必须分 $u>b$、$u<b$、$u=b$ 三类讨论，靠单调性排除前两类；此外还要做存在性反向验证（$a=h(b)$ 的每个值都取得到），不能只求出必要条件就下结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数与方程思想；复合函数迭代方程。

结论推广：对称式相减；单调性定唯一；值域定参数范围。

方法推广：换元列对称等式 → 相减 + 单调性得 $u=b$ → 求 $h(b)$ 在 $[0,1]$ 上的值域 → 反向验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷文-10 单-对数函数极值点
• 2013-湖南卷文-06 单-函数图象交点