2007-四川卷文-10 单-抛物线对称两点弦长

本题导读

本题考查抛物线上的对称点问题，以及代入消元与因式分解。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 已知抛物线 $y=-x^2+3$ 上存在关于直线 $x+y=0$ 对称的相异两点 $A$、$B$，则 $|AB|=$ ()

A. 3　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. $3\sqrt{2}$　　　　　　　D. $4\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $A(t,3-t^2)$，其关于 $x+y=0$ 的对称点为 $B(t^2-3,-t)$（横纵坐标互换并变号）。
2. $B$ 在抛物线上：$-t=-(t^2-3{)}^2+3$，整理得 $t^4-6t^2-t+6=0$。
3. 因式分解：$(t-1)(t+2)(t^2-t-3)=0$。
4. 若 $t^2-t-3=0$，则 $t^2=t+3$，此时 $x_B=t^2-3=t$，$y_B=-t=3-t^2$，$A$ 与 $B$ 重合，与相异矛盾，舍去。
5. 取 $t=1$：$A(1,2)$，$B(-2,-1)$；$t=-2$ 给出同一对点。$|AB|=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $A(t,3-t^2)$ 是抛物线 $y=-x^2+3$ 上一点，它关于直线 $x+y=0$ 的对称点为 $B(t^2-3,-t)$（关于 $x+y=0$ 对称，横纵坐标互换并变号）． 由 $B$ 也在抛物线上，得 $-t=-(t^2-3{)}^2+3$，展开整理 $t^4-6t^2-t+6=0$， 因式分解为 $(t-1)(t+2)(t^2-t-3)=0$． 若 $t^2-t-3=0$，则 $t^2=t+3$，此时 $x_B=t^2-3=t=x_A$，$y_B=-t=3-t^2=y_A$，即 $A$ 与 $B$ 重合，与两点相异矛盾，舍去． 故 $t=1$ 或 $t=-2$：$t=1$ 时 $A=(1,2)$，$B=(-2,-1)$；$t=-2$ 时得到同一对点． $|AB|=\sqrt{(1+2{)}^2+(2+1{)}^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线对称两点弦长

核心方法：$A(t,3-t^2)$ 的对称点 $B(t^2-3,-t)$ 代入抛物线，$(t-1)(t+2)(t^2-t-3)=0$，$|AB|=3\sqrt{2}$

避坑指南：$t^2-t-3=0$ 的解使 $A$ 与 $B$ 重合，必须按”相异两点”舍去；关于 $x+y=0$ 对称即坐标互换变号，公式别记反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线上两点关于直线对称是圆锥曲线点差法的前置题型，全国卷 1997 年首现

结论推广：推广：对称弦问题中，重合解对应切线情形，相异两点的要求正是舍去重合解的依据

方法推广：对称问题用”设 $A$ 代对称得 $B$“的坐标法，结合因式分解分离出重合解并舍去

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