2013-大纲卷文-22 解-双曲线与等比数列

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质。核心在于离心率与弦长定方程、带符号焦半径公式的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1$、$F_2$，离心率为 $3$，直线 $y=2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$.

(1)求 $a$，$b$；

(2)设过 $F_2$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别交于 $A$、$B$ 两点，且 $|A{F}_1|=|B{F}_1|$，证明：$|A{F}_2|$，$|AB|$，$|B{F}_2|$ 成等比数列.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $c=3a$，$b^2=8a^2$；$y=2$ 截弦 $\sqrt{6}$ 给出 $x_0^2=\frac{3}{2}$，代回方程解得 $a^2=1$，$b^2=8$。
2. 焦半径：$P{F}_2^2=(x+3{)}^2+8(x^2-1)=(3x+1{)}^2$。$|A{F}_1|=-(3x_1+1)$，$|B{F}_1|=3x_2+1$，条件给 $x_1+x_2=-\frac{2}{3}$。
3. 直线 $y=k(x-3)$ 联立，韦达定理定出 $m=\frac{1}{10}$（$m=\frac{k^2}{8}$），进而 $|A{F}_2|=2+2\sqrt{5}$，$|B{F}_2|=2\sqrt{5}-2$，$|AB|=4$，验证 $|A{F}_2|\cdot |B{F}_2|=16=|AB{|}^2$。

✅【答案】

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(1) $a=1$，$b=2\sqrt{2}$；(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 离心率为 $3$，即 $c=3a$，结合 $c^2=a^2+b^2$ 得 $b^2=8a^2.$ 设 $y=2$ 与 $C$ 的交点为 $(\pm x_0,2)$，$x_0>0$。由两交点间距离 $\sqrt{6}$ 得 $2x_0=\sqrt{6}$，$x_0^2=\frac{3}{2}$。代入双曲线方程： $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1⟹\frac{3}{2a^2}-\frac{4}{8a^2}=1⟹\frac{1}{a^2}=1,$ 故 $a^2=1$，$b^2=8$，即 $a=1$，$b=2\sqrt{2}$。 (2) 由 (1)，$C:x^2-\frac{y^2}{8}=1$，$F_1(-3,0)$，$F_2(3,0)$。设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，其中 $x_1<-1$，$x_2>1$。 对双曲线上任意点 $P(x,y)$： $P{F}_2^2=(x+3{)}^2+y^2=(x+3{)}^2+8(x^2-1)=(3x+1{)}^2.$ 由焦半径的符号：左支上 $A{F}_1=-(3x_1+1)$，右支上 $B{F}_1=3x_2+1$。由 $|A{F}_1|=|B{F}_1|$： $-3x_1-1=3x_2+1⟹x_1+x_2=-\frac{2}{3}.$ 设直线 $l:y=k(x-3)$（竖直线 $x=3$ 只交右支，不合题意），令 $m=\frac{k^2}{8}$，代入双曲线方程： $(1-m)x^2+6mx-(9m+1)=0.$ 由韦达定理 $x_1+x_2=\frac{6m}{m-1}$，结合 $x_1+x_2=-\frac{2}{3}$ 得 $m=\frac{1}{10}$，即 $k^2=\frac{4}{5}$。此时 $9x^2+6x-19=0$， $x_1=\frac{-1-2\sqrt{5}}{3},x_2=\frac{-1+2\sqrt{5}}{3}.$ 由 $x_1<-1<x_2<3$，直线上四点顺序为 $A$，$B$，$F_2$，故 $|A{F}_2|=1-3x_1=2+2\sqrt{5},|B{F}_2|=3x_2-1=2\sqrt{5}-2,$ $|AB|=|A{F}_2|-|B{F}_2|=4.$ 于是 $|A{F}_2|\cdot |B{F}_2|=(2+2\sqrt{5})(2\sqrt{5}-2)=20-4=16=|AB{|}^2,$ 所以 $|A{F}_2|$，$|AB|$，$|B{F}_2|$ 成等比数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的定义、焦半径与等比数列

核心方法：$e=3$ 得 $b^2=8a^2$，弦长条件定 $a=1$；第二问用 $(3x+1{)}^2$ 型焦半径公式把 $|A{F}_2|\cdot |B{F}_2|$ 算成 $|AB{|}^2$

避坑指南：双曲线焦半径带符号：左支上 $|A{F}_2|=1-3x_1$（$x_1<0$），右支上 $|B{F}_2|=3x_2-1$——绝对值别丢；$|A{F}_1|=|B{F}_1|$ 给的是 $x_1+x_2=-\frac{2}{3}$ 这个对称关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线与等比数列的交汇（全国卷压轴）。

结论推广：$e=\frac{c}{a}$；双曲线 $x^2-\frac{y^2}{8}=1$ 上点 $P(x,y)$：$P{F}_2^2=(3x+1{)}^2$（带符号焦半径 $3x\mp 1$）。

方法推广：圆锥曲线与数列交汇三步：焦半径公式（含符号）表达两段长 → 条件化为横坐标的对称关系 → 用韦达定参数，最后核对等比关系 $|AB{|}^2=|A{F}_2|\cdot |B{F}_2|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-11 单-双曲线焦距
• 2013年大纲版理-21