2012-四川卷文-22 解-抛物线切线与不等式

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于导数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 已知 $a$ 为正实数，$n$ 为自然数，抛物线 $y=-x^2+\frac{a^n}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴相交于点 $A$.设 $f(n)$ 为该抛物线在点 $A$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距.

(1)用 $a$ 和 $n$ 表示 $f(n)$；

(2)求对所有 $n$ 都有 $\frac{f(n)-1}{f(n)+1}⩾\frac{n}{n+1}$ 成立的 $a$ 的最小值；

(3)当 $0<a<1$ 时，比较 $\frac{1}{f(1)-f(2)}+\frac{1}{f(2)-f(4)}+\cdots +\frac{1}{f(n)-f(2n)}$ 与 $6\cdot \frac{f(1)-f(n+1)}{f(0)-f(1)}$ 的大小，并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）$f(n)=a^n$；（2）不等式等价于 $a^n⩾2n+1$，令 $n=1$ 得 $a⩾3$，且 $a=3$ 时由 $3^n⩾1+2n$ 恒成立，故最小值为 $3$；（3）由 $6x^2(1-x)⩽\frac{8}{9}<1$ 逐项放缩得左边大于右边。

✅【答案】

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(1)$f(n)=a^n$；(2)$a$ 的最小值为 $3$；(3)左边的式子大于右边的式子

✍【详细解析】

Abstract

（1）令 $-x^2+\frac{a^n}{2}=0$ 得正半轴交点 $A\left(\frac{a^{\frac{n}{2}}}{\sqrt{2}},0\right)$，记 $x_A=\frac{a^{\frac{n}{2}}}{\sqrt{2}}$。

抛物线在 $A$ 处的切线斜率 $k=-2x_A=-\sqrt{2}{a}^{\frac{n}{2}}$，切线方程为 $y=-2x_A\left(x-x_A\right)$。

令 $x=0$，得 $y$ 轴上的截距

$f(n)=2x_A^2=\frac{a^n}{2}\times 2=a^n$。

（2）由 $a>0$ 知 $f(n)+1=a^n+1>0$，故原不等式等价于

$(n+1)\left(a^n-1\right)⩾n\left(a^n+1\right)$，

展开整理得 $a^n⩾2n+1$。

取 $n=1$，得 $a⩾3$，即 $a$ 至少为 $3$。

反之，当 $a=3$ 时，由二项式展开 $3^n=(1+2{)}^n=1+2n+\cdots ⩾1+2n$，

故 $a=3$ 时不等式对所有正整数 $n$ 都成立。

所以 $a$ 的最小值为 $3$。

（3）当 $0<a<1$ 时 $f(k)=a^k$。记左边为 $L$，右边为 $R$。

$L=\sum _{k=1}^n\frac{1}{a^k-a^{2k}}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{a^k\left(1-a^k\right)}$。

又 $f(0)=1$，$f(1)=a$，且 $\sum _{k=1}^n{a}^k=\frac{a\left(1-a^n\right)}{1-a}=\frac{a-a^{n+1}}{1-a}$，故

$R=6\cdot \frac{a-a^{n+1}}{1-a}=6\sum _{k=1}^n{a}^k$。

对任意 $x\in (0,1)$，函数 $h(x)=x^2(1-x)$ 在 $x=\frac{2}{3}$ 处取得最大值 $\frac{4}{27}$，所以

$6h(x)=6x^2(1-x)⩽6\times \frac{4}{27}=\frac{8}{9}<1$。

令 $x=a^k\in (0,1)$，得 $6a^{2k}\left(1-a^k\right)<1$，两边同除以正数 $a^{2k}\left(1-a^k\right)$：

$\frac{1}{a^k\left(1-a^k\right)}>6a^k$。

对 $k=1,2,\cdots ,n$ 求和得 $L>R$，即左边的式子大于右边的式子。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义（切线方程与截距）；不等式恒成立求参数最小值；二项式展开放缩；高次函数的极值

核心方法：恒成立问题先”取特殊值定下界、再验证充分性”；数列型不等式比较用”逐项放缩”化为同一个函数的极值问题

避坑指南：（2）中 $a⩾3$ 是由 $n=1$ 得到的必要条件，必须补充说明 $a=3$ 确实对所有 $n$ 成立，才能断言最小值是 $3$；（3）中放缩的方向不能反：$6x^2(1-x)⩽\frac{8}{9}<1$ 才能推出 $\frac{1}{x^2(1-x)}>6$，若把不等号写反则结论颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数与不等式综合压轴题，与 2012 年福建卷文第 21 题、2013 年大纲卷文第 22 题同族（四川卷压轴常为”抛物线切线 + 不等式”的复合结构）。

结论推广：抛物线 $y=-x^2+\frac{a^n}{2}$ 在正半轴交点处的切线截距恰为 $\frac{a^n}{2}\times 2=a^n$，这是”截距 = 顶点纵坐标的 $2$ 倍”这一结论的体现；恒成立问题中”必要性 + 充分性”两步法是最稳妥的书写格式。

方法推广：压轴题拆成三小问分别处理：（1）用导数求切线——回归几何意义；（2）恒成立——特殊值定下界再验证；（3）比较大小——找同一个可求极值的辅助函数逐项放缩。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-21 解-抛物线切线定点
• 2013-大纲卷文-22 解-双曲线与等比数列
• 2013-山东卷文-11 单-抛物线与渐近线切线