2013-大纲卷理-09 单-导数单调性

本题导读

本题考查导数的应用，以及利用导数研究函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 若函数 $f(x)=x^2+ax+\frac{1}{x}$ 在 $(\frac{1}{2},+\infty )$ 是增函数，则 $a$ 的取值范围是()

A. $[-1,0]$　　　　B. $[-1,+\infty )$　　　　C. $[0,3]$　　　　D. $[3,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 转化条件：若函数 $f(x)$ 在指定区间上是增函数，则其导数 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 在该区间内恒成立（且不恒为零）。
2. 求导运算：对 $f(x)$ 求导，得到 $f^{\prime }(x)=2x+a-\frac{1}{x^2}$。
3. 参数分离：建立不等式 $2x+a-\frac{1}{x^2}\ge 0$，将参数 $a$ 孤立出来，得 $a\ge \frac{1}{x^2}-2x$。
4. 求最值：要使 $a\ge \frac{1}{x^2}-2x$ 在 $(\frac{1}{2},+\infty )$ 恒成立，则 $a$ 必须大于或等于函数 $h(x)=\frac{1}{x^2}-2x$ 在该区间上的最大值。
5. 判定单调性：对构造出的函数 $h(x)$ 再次求导，分析其在该区间上的增减性，从而确定其最大值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求导并建立不等式 由已知，$f(x)=x^2+ax+\frac{1}{x}$ 在 $(\frac{1}{2},+\infty )$ 上是增函数。 所以 $f^{\prime }(x)=2x+a-\frac{1}{x^2}\ge 0$ 在 $x\in (\frac{1}{2},+\infty )$ 上恒成立。

第二步：分离参数 将不等式变形为：$a\ge \frac{1}{x^2}-2x$。

第三步：构造函数并求最值 令 $h(x)=\frac{1}{x^2}-2x$，则 $h^{\prime }(x)=-\frac{2}{x^3}-2$。 当 $x\in (\frac{1}{2},+\infty )$ 时，$x^3>0$，故 $h^{\prime }(x)<0$ 恒成立。 所以 $h(x)$ 在 $(\frac{1}{2},+\infty )$ 上是减函数。

第四步：计算边界值 由于 $h(x)$ 单调递减，则其最大值在左边界处取得（注意是开区间，取趋近值）： $h(x)<h(\frac{1}{2})=\frac{1}{(\frac{1}{2}{)}^2}-2\times \frac{1}{2}=4-1=3$。

因为要使 $a\ge h(x)$ 恒成立，且 $h(x)$ 的值域范围上限趋近于 $3$， 所以 $a\ge 3$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数单调性与导数符号的关系（$f^{\prime }(x)\ge 0$ 对应增函数）。

核心方法：“参数分离 + 求最值”。这是处理不等式恒成立问题的标准流程。

避坑指南：- 导数公式 $1/x$ 的导数是 $-1/x^2$，符号容易弄错。 - 恒成立问题中，$a\ge f(x)$ 对应 $a\ge f(x{)}_{\max }$；$a\le f(x)$ 对应 $a\le f(x{)}_{\min }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：凸函数、驻点与极值。

结论推广：若函数在区间上单调递减，则令 $f^{\prime }(x)\le 0$。

方法推广：对于无法直接分离参数的题目，可采用“分区间讨论导函数零点”或“二阶导数法”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-06 单-导数单调性
• 2014-山东卷文-20 解-导数切线单调性
• 2014-大纲卷文-21 解-导数含参单调性