2014-大纲卷文-21 解-导数含参单调性

本题导读

(1) $a\ge 1$ 时 $\mathbf{R}$ 上递增；$0<a<1$ 时增—减—增；$a<0$ 时减—增—减（两根 $\frac{-1\pm \sqrt{1-a}}{a}$）。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)） 函数 $f(x)=a{x}^3+3x^2+3x$ $(a\ne 0)$.

(1) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性;

(2) 若函数 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 是增函数，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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(1) $a\ge 1$ 时 $\mathbf{R}$ 上递增；$0<a<1$ 时增—减—增；$a<0$ 时减—增—减（两根 $\frac{-1\pm \sqrt{1-a}}{a}$）。(2) $a>0$ 恒增；$a<0$ 需 $g(1)\ge 0$ 且 $g(2)\ge 0$，得 $a\in [-\frac{5}{4},0)\cup (0,+\infty )$。

✅【答案】

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(1) 见解析 (2) $a$ 的取值范围是 $\left[-\frac{5}{4},0\right)\cup (0,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+6x+3=3g(x)$，其中 $g(x)=a{x}^2+2x+1$，判别式 $\Delta =4(1-a)$。

(1) 当 $a\ge 1$（$a\ne 0$，即 $a>1$ 或 $a=1$）：$a>0$ 时 $\Delta \le 0$，$g(x)\ge 0$ 恒成立（$a=1$ 时仅 $x=-1$ 处为 0），故 $f$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数。

当 $0<a<1$：$g$ 有两根 $x_1=\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{1-a}}{a}$，$x_2<x_1$。$g$ 开口向上，在 $(-\infty ,x_2)$、$(x_1,+\infty )$ 为正，$(x_2,x_1)$ 为负，故 $f$ 在 $(-\infty ,x_2)$、$(x_1,+\infty )$ 递增，在 $(x_2,x_1)$ 递减。

当 $a<0$：$g$ 开口向下，$\sqrt{1-a}>1$，此时 $x_1=\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}<0$？——分子 $-1+\sqrt{1-a}>0$，除以负数得 $x_1<0$；$x_2=\frac{-1-\sqrt{1-a}}{a}>0$。即 $x_1<x_2$。$g$ 在 $(-\infty ,x_1)$、$(x_2,+\infty )$ 为负，$(x_1,x_2)$ 为正，故 $f$ 在 $(-\infty ,x_1)$、$(x_2,+\infty )$ 递减，在 $(x_1,x_2)$ 递增。

(2) $f$ 在 $(1,2)$ 增 $⟺g(x)\ge 0$ 在 $(1,2)$ 恒成立。

$a>0$：$g(x)=a{x}^2+2x+1$ 在 $x>0$ 时各项均为正，恒成立，故一切 $a>0$ 满足。

$a<0$：$g$ 开口向下，其在对称轴右侧递减，$g$ 在 $[1,2]$ 上的最小值在端点取得，需

$g(1)=a+3\ge 0$ 且 $g(2)=4a+5\ge 0$，即 $a\ge -\frac{5}{4}$（$-\frac{5}{4}>-3$）。

结合 $a<0$：$-\frac{5}{4}\le a<0$。检验 $a=-\frac{5}{4}$：$g(x)=-\frac{5}{4}{x}^2+2x+1$ 的根为 $2$ 与 $-\frac{2}{5}$，在 $(1,2)$ 内 $g>0$，确为增函数，端点可取。

综上，$a$ 的取值范围是 $\left[-\frac{5}{4},0\right)\cup (0,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用导数研究含参三次函数的单调性；二次函数不等式恒成立

2. 核心方法：判别式 + 开口方向分三类；“闭区间端点检验”处理开口向下的情形

3. 避坑指南：①$0<a<1$ 与 $a<0$ 两类的根的大小顺序不同（后者 $x_1<x_2$），增减区间排列正好相反，容易照抄出错；②$a<0$ 时”$g$ 在 $(1,2)$ 恒非负”等价于两端点非负（开口向下、先增后减时最小值在端点），别只检验 $g(2)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数含参单调性解答题（doc 考点定位：导数），与 2014 年新课标Ⅰ理第 11 题、新课标Ⅱ文第 21 题同族。

2. 结论推广: 一般地，三次函数 $f$ 在区间 $I$ 递增 $⟺f^{\prime }\ge 0$ 在 $I$ 恒成立；$f^{\prime }$ 是二次函数时，”$a$ 的符号 + 判别式 + 区间端点”三要素完整分类即可覆盖全部情形。

3. 方法推广: 含参单调性标准路线：求导 → 按 $g(x)$ 的开口与判别式分类 → 每类内对区间用”端点/顶点”检验 → 合并并回检端点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.14 恒成立问题——端点效应

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-21 解-导数存在性
• 2015-新课标I卷文-21 解-导数综合