2013-天津卷理-12 填-向量加减法

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及向量的加法与减法。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 在平行四边形 $ABCD$ 中，$AD=1$，$\angle BAD=60^{\circ }$，$E$ 为 $CD$ 的中点.若 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BE}=1$，则 $AB$ 的长为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 选定基底：由于已知 $AD$ 长度及 $\angle BAD$，选定 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AD}$ 作为基底。设 $|\overrightarrow{AB}|=x$。
2. 向量分解：
   • 将 $\overrightarrow{AC}$ 分解为基底形式：利用平行四边形法则 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$。
   • 将 $\overrightarrow{BE}$ 分解为基底形式：利用向量加法 $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}$，注意 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ 且 $\overrightarrow{CE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$。
3. 建立等式：利用数量积的运算律展开 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BE}=1$。
4. 代入数据求解：代入 $|\overrightarrow{AD}|=1$、$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|\cos 60^{\circ }$，解关于 $x$ 的一元二次方程。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract


第一步：基底表示 设 $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$。已知 $|\vec{b}|=1$，$⟨\vec{a},\vec{b}⟩=60^{\circ }$。设 $|\vec{a}|=x$。 则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}x$。

第二步：表示目标向量 根据几何关系：

• $\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$
• $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$

第三步：展开数量积 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BE}=(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a})$ $=\vec{a}\cdot \vec{b}-\frac{1}{2}|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-\frac{1}{2}\vec{a}\cdot \vec{b}$ $=\frac{1}{2}\vec{a}\cdot \vec{b}-\frac{1}{2}|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$

第四步：代入已知量求解 已知 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BE}=1$： $\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x)-\frac{1}{2}{x}^2+1^2=1$ $\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}{x}^2=0$ $\frac{1}{2}x(\frac{1}{2}-x)=0$ 因为 $AB$ 的长度 $x>0$，所以 $x=\frac{1}{2}$。

故填入答案为：$\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的基本定理（基底法）；数量积的分配律 $(m\vec{a}+n\vec{b})\cdot (p\vec{c}+q\vec{d})$。

核心方法：基底法是解决平面几何向量综合题的万能工具。将所有涉及的向量“投影”到两个有公共起点的基底上，可以将几何问题彻底代数化。

避坑指南：注意 $\overrightarrow{CE}$ 的方向，由于 $E$ 是 $CD$ 的中点且 $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$，故 $\overrightarrow{CE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量的投影、向量共线的充要条件。

结论推广：见详细解析。

方法推广：若本题建立坐标系求解，可设 $A(0,0),B(x,0),D(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，同样能快速得到方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-10 单-向量模
• 2014-湖北卷文-12 填-向量模
• 2014-江西卷文-12 填-向量模