2014-湖北卷理-11 填-向量加减法

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算与数量积性质。通过向量垂直的充要条件（数量积为零），建立关于参数 $\lambda$ 的方程并求解。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 设向量 $\mathbf{a}=(3,3)$，$\mathbf{b}=(1,-1)$，若 $(\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b})\perp (\mathbf{a}-\lambda \mathbf{b})$，则实数 $\lambda =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化垂直条件：根据向量垂直的定义，$(\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b})\perp (\mathbf{a}-\lambda \mathbf{b})⟺(\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\lambda \mathbf{b})=0$。
2. 利用数量积性质：展开数量积公式得 $|\mathbf{a}{|}^2-{\lambda }^2|\mathbf{b}{|}^2=0$。
3. 计算模长求解：计算出向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的模（或模的平方），代入方程求出 $\lambda$。

✅【答案】

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$\pm 3$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：模长性质法（推荐） 因为 $(\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b})\perp (\mathbf{a}-\lambda \mathbf{b})$， 所以 $(\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\lambda \mathbf{b})=0$。 由平方差公式得：${\mathbf{a}}^2-(\lambda \mathbf{b}{)}^2=0$，即 $|\mathbf{a}{|}^2-{\lambda }^2|\mathbf{b}{|}^2=0$。 计算模的平方：

• $|\mathbf{a}{|}^2=3^2+3^2=18$
• $|\mathbf{b}{|}^2=1^2+(-1{)}^2=2$ 代入方程： $18-2{\lambda }^2=0⟹{\lambda }^2=9$。 解得 $\lambda =\pm 3$。

方法二：坐标运算法 计算组合向量坐标：

• $\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b}=(3,3)+\lambda (1,-1)=(3+\lambda ,3-\lambda )$
• $\mathbf{a}-\lambda \mathbf{b}=(3,3)-\lambda (1,-1)=(3-\lambda ,3+\lambda )$ 利用坐标形式的数量积公式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$： $(3+\lambda )(3-\lambda )+(3-\lambda )(3+\lambda )=0$ $2(9-{\lambda }^2)=0$ $18-2{\lambda }^2=0⟹{\lambda }^2=9$ 解得 $\lambda =\pm 3$。

故答案为 $\pm 3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的坐标运算与数量积垂直条件

2. 核心方法：由垂直得 $(\vec{a}+\lambda \vec{b})\cdot (\vec{a}-\lambda \vec{b})=0$，展开为 $|\vec{a}{|}^2-{\lambda }^2|\vec{b}{|}^2=0$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量垂直的充要条件（数量积为零）

2. 结论推广: $(\vec{a}+\lambda \vec{b})\perp (\vec{a}-\lambda \vec{b})⟺{\lambda }^2=\frac{|\vec{a}{|}^2}{|\vec{b}{|}^2}$。

3. 方法推广: 可迁移到向量垂直、模长与数量积运算类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-10 单-向量加减法
• 2013-天津卷理-12 填-向量加减法
• 2013-大纲卷理-03 单-向量加减法