2013-安徽卷理-14 填-相似图形的性质

本题导读

本题考查相似图形的性质，以及面积比与相似比的关系。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)）如图，互不相同的点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}, \dots$ 和 $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}, \dots$ 分别在角 $O$ 的两条边上，所有 $A_{n} B_{n}$ 相互平行，且所有梯形 $A_{n} B_{n} B_{n + 1} A_{n + 1}$ 的面积均相等.设 $O A_{n} = a_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ 则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式是 .

🔍【思路分析】

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利用相似三角形性质：由于 $A_{n} B_{n} ∥ A_{n + 1} B_{n + 1}$ ，可知 $△ O A_{1} B_{1} \sim △ O A_{2} B_{2} \sim \dots \sim △ O A_{n} B_{n}$ 。相似比即为对应边 $O A_{n}$ 的比，即 $a_{n}$ 。 关键结论：面积比等于相似比的平方，即 $\frac{S _{△ O A_{n} B_{n}}}{S _{△ O A_{1} B_{1}}} = (\frac{O A _{n}}{O A _{1}})^{2} = (\frac{a _{n}}{a _{1}})^{2}$ 。

建立面积等量关系：设 $S_{△ O A_{1} B_{1}} = S_{1}$ ，每个梯形的面积为 $S_{梯}$ 。由 $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ 知 $\frac{S _{△ O A_{2} B_{2}}}{S _{1}} = (\frac{2}{1})^{2} = 4$ 。则第一个梯形面积 $S_{梯} = S_{△ O A_{2} B_{2}} - S_{1} = 4 S_{1} - S_{1} = 3 S_{1}$ 。

推导通项： $△ O A_{n} B_{n}$ 的面积等于初始小三角形面积加上前 $n - 1$ 个梯形的面积。利用面积比例公式列出关于 $a_{n}$ 的方程并求解。

✅【答案】

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因为 $a_{n} > 0$ ，所以 $a_{n} = 3 n - 2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定梯形与初始三角形的面积关系 因为 $△ O A_{1} B_{1} \sim △ O A_{2} B_{2}$ ，且相似比为 $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{1}{2}$ ，所以 $\frac{S _{△ O A_{1} B_{1}}}{S _{△ O A_{2} B_{2}}} = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ 。设 $S_{△ O A_{1} B_{1}} = S$ ，则 $S_{△ O A_{2} B_{2}} = 4 S$ 。第一个梯形 $A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}$ 的面积 $S_{梯} = 4 S - S = 3 S$ 。

第二步：求 $△ O A_{n} B_{n}$ 的面积 由于所有梯形面积相等，均为 $3 S$ ，则 $△ O A_{n} B_{n}$ 的面积由 $△ O A_{1} B_{1}$ 加上 $n - 1$ 个梯形组成： $S_{△ O A_{n} B_{n}} = S + (n - 1) \cdot 3 S = (3 n - 2) S$

第三步：利用相似比求通项 因为 $△ O A_{1} B_{1} \sim △ O A_{n} B_{n}$ ，所以 $\frac{S _{△ O A_{1} B_{1}}}{S _{△ O A_{n} B_{n}}} = (\frac{O A _{1}}{O A _{n}})^{2}$ 。代入面积值与边长 $a_{1} = 1$ ： $\frac{S}{( 3 n - 2 ) S} = (\frac{1}{a _{n}})^{2}$ $\frac{1}{3 n - 2} = \frac{1}{a _{n}^{2}}$ 得 $a_{n}^{2} = 3 n - 2$ 。

第四步：得出结论 因为 $a_{n} > 0$ ，所以 $a_{n} = 3 n - 2$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相似图形面积比等于相似比的平方（即 $S \propto l^{2}$ ）。

核心方法：“整体减局部”。将梯形面积看作两个相似三角形面积之差，是处理此类嵌套图形题目的通法。

避坑指南：容易将面积关系误认为是线性增长（即 $a_{n}$ 是等差数列）。实际上，面积是随 $n$ 等差增长的，但边长 $a_{n}$ 对应的是开方关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列的归纳与类比推理、等差数列的定义。

结论推广：若 $O A_{1} = 1$ ，各层面积增加量为 $Δ S$ ，则 $a_{n} = 1 + (n - 1) \frac{Δ S}{S _{1}}$ 。

方法推广：涉及几何图形的数列题，优先寻找相似比与面积/体积的幂次关系。

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