2013-山东卷理-08 单-图象辨析

本题导读

本题考查函数的图象，以及图象辨析。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 函数 $y=x\cos x+\sin x$ 的图象大致为()



🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析奇偶性：设 $f(x)=x\cos x+\sin x$，判断其奇偶性。奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于 $y$ 轴轴对称。
2. 排除选项：根据对称性初步排除不符合条件的图象。
3. 选取特征值：在 $x\in (0,\pi )$ 区间内选取特殊点（如 $x=\frac{\pi }{2}$ 和 $x=\pi$），通过计算函数值的符号和大小进行二次筛选。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判断奇偶性。 设 $f(x)=x\cos x+\sin x$，定义域为 $\mathbb{R}$。 $f(-x)=(-x)\cos (-x)+\sin (-x)=-x\cos x-\sin x=-(x\cos x+\sin x)=-f(x)$ 所以 $f(x)$ 是奇函数。 其图象应关于原点中心对称。观察选项：

• 选项 B 的图象不关于原点对称，排除。

第二步：利用特殊值验证。

• 令 $x=\frac{\pi }{2}$： $y(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}\cdot 0+1=1>0$ 这说明在 $x=\frac{\pi }{2}$ 处，图象应位于 $x$ 轴上方。
• 选项 A 在 $(0,\pi )$ 区间内函数值几乎恒为正且偏小，且在 $\pi$ 附近趋近于 $0$，趋势不明显，需进一步判断。
• 令 $x=\pi$： $y(\pi )=\pi \cos \pi +\sin \pi =\pi \cdot (-1)+0=-\pi <0$ 这说明当 $x=\pi$ 时，函数值应为负。

第三步：比对图象趋势。

• 选项 C 在 $x\to \pi$ 时图象仍在 $x$ 轴上方，不符合 $y(\pi )<0$。
• 选项 D 在 $x=\frac{\pi }{2}$ 附近取正值，在 $x=\pi$ 附近穿过 $x$ 轴变为负值，且关于原点对称，完全符合特征。

故正确答案为：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数性质（奇偶性、单调性、零点）在图象辨析中的应用。

核心方法：“先性后数”。先看奇偶性、周期性、范围（定义域/值域）排除大项；再选特殊值（极值点、坐标轴交点、区间端点）定乾坤。

避坑指南：不要试图通过求导分析复杂的单调性，那在考试中耗时过长。对于选择题，排除法辅以特殊值是效率最高的方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的零点个数判断、函数图象的导数意义（凹凸性）。

结论推广：对于 $y=f(x)\cdot g(x)+h(x)$ 类型的函数，若 $f,h$ 奇且 $g$ 偶，结果为奇函数；若 $f,g,h$ 均奇，结果为偶函数。

方法推广：面对包含 $x$ 与 $\sin x$ 的混合图象，注意 $x$ 的增长速度。当 $x$ 较大时，函数波动幅度的包络线由直线 $y=\pm x$ 决定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)