2012-山东卷文-10 单-函数图象识别

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数图象的识别。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 函数 $f(x)=\frac{\cos 6x}{2^x-2^{-x}}$ 的图象大致为()

A. 　　　　　　　　　B. 　　　　　　　　　C. 　　　　　　　　　D.

!

🔍【思路分析】

破题导航

$f(x)=\frac{\cos 6x}{2^x-2^{-x}}$ 为奇函数，$x\to 0^{+}$ 时趋 $+\infty$、$x\to 0^{-}$ 时趋 $-\infty$，选 D。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

定义域：$2^x-2^{-x}\ne 0$，即 $x\ne 0$。

奇偶性：$f(-x)=\frac{\cos 6x}{2^{-x}-2^x}=-f(x)$，故 $f$ 为奇函数，图象关于原点对称（排除 A、C）。

趋势：$x\to 0^{+}$ 时 $2^x-2^{-x}\to 0^{+}$，$f(x)\to +\infty$；$x\to 0^{-}$ 时 $f(x)\to -\infty$。

当 $|x|$ 增大时 $|2^x-2^{-x}|$ 迅速增大而 $|\cos 6x|⩽1$，故图象在 $x$ 轴附近上下振荡且振幅衰减。

对照四个选项，符合”原点对称、右支靠近 $y$ 轴趋于 $+\infty$、左支趋于 $-\infty$“的只有 D。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的奇偶性；由解析式识别函数图象

核心方法：先用奇偶性排除，再用特殊点附近的趋势与零点位置定选项

避坑指南：$2^{-x}-2^x=-(2^x-2^{-x})$ 是判奇偶的关键；不要只凭”像不像”选图，奇偶性、极限趋势、零点是硬判据。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数图象识别题，与 2013 年山东卷文第 9 题、2013 年山东卷理第 8 题同族。

结论推广：判断 $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ 的奇偶性：$g$ 为偶、$h$ 为奇时 $f$ 为奇函数，图象关于原点对称。

方法推广：图象识别四查：定义域 → 奇偶性 → 特殊点与零点 → 两端趋势，逐项排除。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-09 单-函数图象识别
• 2013-山东卷理-08 单-图象辨析
• 2013-新课标I卷文-09 单-函数图象识别