2013-山东卷理-14 填-几何概型

本题导读

本题考查几何概型，以及绝对值不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 在区间 $[-3,3]$ 上随机取一个数 $x$，使得 $|x+1|-|x-2|\ge 1$ 的概率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解绝对值不等式：利用零点分段法，以 $-1$ 和 $2$ 为分界点，将数轴分为三个区间讨论，求出满足 $|x+1|-|x-2|\ge 1$ 的 $x$ 的取值范围。
2. 确定测度（长度）：
   • 全集测度：区间 $[-3,3]$ 的长度。
   • 事件测度：不等式的解集与 $[-3,3]$ 的交集部分的长度。
3. 计算概率：利用几何概型概率公式 $P=\frac{\text{构成事件的区域长度}}{\text{全部结果构成的区域长度}}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解不等式 $|x+1|-|x-2|\ge 1$ 令 $x+1=0⟹x=-1$；$x-2=0⟹x=2$。 ① 当 $x<-1$ 时： $-(x+1)-[-(x-2)]\ge 1⟹-x-1+x-2\ge 1⟹-3\ge 1$（矛盾，无解）。 ② 当 $-1\le x<2$ 时： $(x+1)-[-(x-2)]\ge 1⟹x+1+x-2\ge 1⟹2x-1\ge 1⟹x\ge 1$。 结合区间条件得 $1\le x<2$。 ③ 当 $x\ge 2$ 时： $(x+1)-(x-2)\ge 1⟹3\ge 1$（恒成立）。 结合区间条件得 $x\ge 2$。 综上，不等式的解集为 $\{x|x\ge 1\}$。

第二步：确定在区间 $[-3,3]$ 内的解集 使得条件成立的 $x$ 落在区间 $[1,3]$ 内。

第三步：计算几何概型概率

• 全部结果构成的区域长度为 $L=3-(-3)=6$。
• 满足条件的区域长度为 $l=3-1=2$。
• 概率 $P=\frac{l}{L}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。

故填入答案为：$\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何概型的定义与计算；绝对值不等式的分段处理。

核心方法：零点分段法。这是处理含有多个绝对值符号的不等式或函数时最通用、逻辑最清晰的方法。

避坑指南：- 区间长度计算：务必使用“右端点 - 左端点”，注意负号。 - 范围重叠：最后求出的解集必须与原始随机取的区间 $[-3,3]$ 求交集，不能直接用解集的长度。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值三角不等式、古典概型与几何概型的区别。

结论推广：函数 $f(x)=|x-a|-|x-b|$ 的值域为 $[-|a-b|,|a-b|]$。在本题中，该函数最大值为 3，最小值为 -3。

方法推广：几何概型也可以出现在平面区域内（面积型）或空间区域内（体积型）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-12 单-几何概型
• 2015-福建卷文-08 单-几何概型
• 2015-湖北卷文-08 单-几何概型