2015-湖北卷文-08 单-几何概型

本题导读

两个事件都是单位正方形内的几何概型：$p_1$ 是直线下方小三角形（面积 $\frac{1}{8}$），$p_2$ 是双曲线下方区域（面积 $>\frac{1}{2}$），从而 $p_1<\frac{1}{2}<p_2$。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(文)） 在区间 $[0,1]$ 上随机取两个数 $x$，$y$，记 $p_1$ 为事件"$x+y\le \frac{1}{2}$"的概率，$p_2$ 为事件"$xy\le \frac{1}{2}$"的概率，则 ()

A. $p_1<p_2<\frac{1}{2}$　　　B. $p_2<\frac{1}{2}<p_1$　　　C. $\frac{1}{2}<p_2<p_1$　　　D. $p_1<\frac{1}{2}<p_2$

🔍【思路分析】

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两个事件都是单位正方形内的几何概型：$p_1$ 是直线下方小三角形（面积 $\frac{1}{8}$），$p_2$ 是双曲线下方区域（面积 $>\frac{1}{2}$），从而 $p_1<\frac{1}{2}<p_2$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

试验的全部结果构成区域 $\Omega =\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$，面积 $S_{\Omega }=1$。

事件"$x+y\le \frac{1}{2}$"对应的区域是直线 $x+y=\frac{1}{2}$ 与坐标轴围成的直角三角形，面积 $S_1=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，故 $p_1=\frac{1}{8}<\frac{1}{2}$。

事件"$xy\le \frac{1}{2}$"的对立事件是"$xy>\frac{1}{2}$"，对应区域在双曲线 $xy=\frac{1}{2}$ 上方。由 $x\in [0,1]$ 时 $xy\le x\le 1$，且在 $x\in (\frac{1}{2},1]$ 时 "$xy>\frac{1}{2}$" 的面积 ${\int }_{1/2}^1\left(1-\frac{1}{2x}\right)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2\approx 0.153<\frac{1}{2}$，故 $S_2>\frac{1}{2}$，$p_2=S_2>\frac{1}{2}$。

综上 $p_1<\frac{1}{2}<p_2$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何概型（面积型）

核心方法：面积比求概率；对立事件转化算 $p_2$

避坑指南：判断 $p_2$ 不必精确积分：当 $x<\frac{1}{2}$ 时 $xy\le \frac{1}{2}$ 恒成立，区域面积已超一半，即可知 $p_2>\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：单位正方形上的几何概型是”面积型”概率的母题，2015 湖北卷把它与不等式区域比较结合。

结论推广：一般地，$p_1=\frac{1}{2}{t}^2$（$t=x+y\le t$ 的临界值）；对 $xy\le c(c<1)$，$p=c+c\ln \frac{1}{c}$（$c=\frac{1}{2}$ 时 $p=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln 2$）。

方法推广：几何概型先画图定区域，面积难算时转向对立事件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型
• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2015-湖北卷理-7
• 2014-湖北卷理-07 单-平面区域的表示
• 2016-全国卷II文-8