2013-广东卷理-16 解-两角和差余弦

本题导读

本题考查两角和与差的余弦公式。核心在于直接代入法、公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sqrt{2}\cos (x-\frac{\pi }{12})$，$x\in \mathbb{R}$.

(1)求 $f(-\frac{\pi }{6})$ 的值；

(2)若 $\cos \theta =\frac{3}{5}$，$\theta \in (\frac{3\pi }{2},2\pi )$，求 $f(2\theta +\frac{\pi }{3})$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（直接求值）： 将 $x=-\frac{\pi }{6}$ 直接代入函数解析式，化简括号内的角度，利用特殊角的余弦值进行计算。
2. 第二问（恒等变换）：
   • 定号求值：由 $\cos \theta$ 和 $\theta$ 的象限（第四象限），利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 求出 $\sin \theta$。
   • 二倍角变换：利用二倍角公式求出 $\sin 2\theta$ 和 $\cos 2\theta$ 的值。
   • 解析式展开：将 $x=2\theta +\frac{\pi }{3}$ 代入 $f(x)$，化简角度为 $(2\theta +\frac{\pi }{4})$。
   • 公式应用：利用两角和的余弦公式 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ 展开并代值。

✅【答案】

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所以 $\sin \theta =-\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=-\sqrt{1-(\frac{3}{5}{)}^2}=-\frac{4}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 将 $x=-\frac{\pi }{6}$ 代入函数解析式得： $f(-\frac{\pi }{6})=\sqrt{2}\cos (-\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{12})=\sqrt{2}\cos (-\frac{3\pi }{12})$ $f(-\frac{\pi }{6})=\sqrt{2}\cos (-\frac{\pi }{4})$ 由于 $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$，且 $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$， $f(-\frac{\pi }{6})=\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=1$

（Ⅱ）解： 因为 $\cos \theta =\frac{3}{5}$，且 $\theta \in (\frac{3\pi }{2},2\pi )$（第四象限）， 所以 $\sin \theta =-\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=-\sqrt{1-(\frac{3}{5}{)}^2}=-\frac{4}{5}$。

计算二倍角： $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =2\times (-\frac{4}{5})\times \frac{3}{5}=-\frac{24}{25}$； $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =(\frac{3}{5}{)}^2-(-\frac{4}{5}{)}^2=\frac{9-16}{25}=-\frac{7}{25}$。

代入待求式： $f(2\theta +\frac{\pi }{3})=\sqrt{2}\cos (2\theta +\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{12})=\sqrt{2}\cos (2\theta +\frac{\pi }{4})$ 利用两角和余弦公式展开： $f(2\theta +\frac{\pi }{3})=\sqrt{2}(\cos 2\theta \cos \frac{\pi }{4}-\sin 2\theta \sin \frac{\pi }{4})$ $f(2\theta +\frac{\pi }{3})=\sqrt{2}(\cos 2\theta \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\sin 2\theta \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ $f(2\theta +\frac{\pi }{3})=\cos 2\theta -\sin 2\theta$ 代入数值： $f(2\theta +\frac{\pi }{3})=-\frac{7}{25}-(-\frac{24}{25})=\frac{17}{25}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：- 在第四象限，正弦值为负，余弦值为正。符号判定（“一全二正三切四余”）极易出错。 - 角度化简时要细心，如 $\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{12}=\frac{3\pi }{12}=\frac{\pi }{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的周期、单调性区间判定、图象平移。

结论推广：见详细解析。

方法推广：对于 $\sqrt{2}\cos (2\theta +\frac{\pi }{4})$，也可以先写成 $\cos 2\theta -\sin 2\theta$（逆用辅助角公式），再代入倍角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)