2008-广东卷文-16 解-三角化一给值求值

本题导读

$A=1$，$\sin (\frac{\pi }{3}+\phi )=\frac{1}{2}$ 且 $\frac{\pi }{3}<\pi /3+\phi <\frac{4\pi }{3}$给 $\phi =\frac{\pi }{2}$，即 $f(x)=\cos x$；再由 $f(\alpha )$、$f(\beta )$ 定四件套求 $f(\alpha -\beta )$.

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(文)） 已知函数 $f(x)=A\sin (x+\phi )$（$A>0$，$0<\phi <\pi$），$x\in \mathbf{R}$ 的最大值是 1，其图象经过点 $M(\frac{\pi }{3},\frac{1}{2})$.

(1)求 $f(x)$ 的解析式；

(2)已知 $\alpha$，$\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$，且 $f(\alpha )=\frac{3}{5}$，$f(\beta )=\frac{12}{13}$，求 $f(\alpha -\beta )$ 的值.

🔍【思路分析】

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(1)$A$ 即最大值；点 $M$ 给出 $\sin (\pi /3+\phi )=1/2$，在 $\phi$ 的限定区间里只有 $5\pi /6$ 一个取值. (2)$\alpha ,\beta$ 均为锐角，余弦值直接给正弦值；套差角公式.

✅【答案】

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(1)$f(x)=\cos x$；(2)$f(\alpha -\beta )=\frac{56}{65}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)因为 $A>0$，函数 $A\sin (x+\phi )$ 的最大值为 $A$，所以 $A=1$．又因图象经过点 $M$，有 $\sin (\frac{\pi }{3}+\phi )=\frac{1}{2}$．由 $0<\phi <\pi$，得 $\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{3}+\phi <\frac{4\pi }{3}$，故 $\frac{\pi }{3}+\phi =\frac{5\pi }{6}$，从而 $\phi =\frac{\pi }{2}$．因此 $f(x)=\sin (x+\frac{\pi }{2})=\cos x$. (2)由 $f(x)=\cos x$ 及 $\alpha$，$\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$，得 $\cos \alpha =\frac{3}{5}$，$\cos \beta =\frac{12}{13}$，以及 $\sin \alpha =\frac{4}{5}$，$\sin \beta =\frac{5}{13}$. 所以 $f(\alpha -\beta )=\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{56}{65}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的解析式与给值求值

核心方法：最大值定 $A$、特殊点定 $\phi$；同角关系配差角公式

避坑指南：$\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{3}+\phi <\frac{4\pi }{3}$ 内 $\sin =\frac{1}{2}$ 只取 $\frac{5\pi }{6}$——$\frac{\pi }{6}$ 不在区间内；锐角条件下 $\sin$、$\cos$ 全取正

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦型函数定解析式 + 同角三角函数与差角公式，三角解答题入门版

结论推广：$f(x)=\cos x$ 时给值求值全部走 $\cos (\alpha -\beta )$ 展开

方法推广：“五件套”法：已知一个三角函数值，连同范围写出另三个，再套和差公式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-16 解-两角和差余弦
• 2014-广东卷理-16 解-正弦型函数解析式确定
• 2010-广东卷理-16