2013-新课标I卷理-04 单-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$，则 $C$ 的渐近线方程为()

A. $y=\pm \frac{1}{4}x$　　　　B. $y=\pm \frac{1}{3}x$　　　　C. $y=\pm \frac{1}{2}x$　　　　D. $y=\pm x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确离心率公式：利用 $e=\frac{c}{a}$ 以及已知数值 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 建立 $a$ 与 $c$ 的等量关系。
2. 转换基本量关系：利用双曲线中特有的关系式 $c^2=a^2+b^2$（或 ${\left(\frac{c}{a}\right)}^2=1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2$）求出 $\frac{b}{a}$ 的值。
3. 确定渐近线方程：焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，将求得的比值代入即可。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：由离心率建立 $a,c$ 的关系 已知离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。 将其平方，得 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{5}{4}$。

第二步：求 $\frac{b}{a}$ 的值 在双曲线中，$c^2=a^2+b^2$，则： $\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+\frac{b^2}{a^2}$。 将 $e^2=\frac{5}{4}$ 代入： $1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{5}{4}⟹\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}$。 由于 $a,b>0$，开方得 $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$。

第三步：写出渐近线方程 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 代入 $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，得 $y=\pm \frac{1}{2}x$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：离心率 $e=\frac{c}{a}$；渐近线斜率 $k=\pm \frac{b}{a}$（焦点在 $x$ 轴）或 $k=\pm \frac{a}{b}$（焦点在 $y$ 轴）。

核心方法：比例转化法。在求离心率或渐近线相关的选择题中，往往不需要求出 $a,b$ 的具体值，只需通过 $c^2=a^2+b^2$ 维护三者的比例关系。

避坑指南：- 混淆双曲线与椭圆的关系式：椭圆是 $a^2=b^2+c^2$，双曲线是 $c^2=a^2+b^2$。 - 注意渐近线的形式：$y=\pm \frac{\text{虚半轴长}}{\text{实半轴长}}x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线的定义、抛物线与双曲线的综合。

结论推广：等轴双曲线的离心率为 $\sqrt{2}$，渐近线方程为 $y=\pm x$。

方法推广：已知渐近线方程 $y=\pm kx$，可直接得 $e=\sqrt{1+k^2}$（焦点在 $x$ 轴）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2025-上海卷-15 单-双曲线的性质
• 2025-新高考II卷-11 多-双曲线几何性质
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线