2015-新课标II卷文-15 填-双曲线

本题导读

由渐近线定”形状”、由点定”大小”。渐近线决定了 $a$ 与 $b$ 的比例，于是可把方程设成只带一个参数的简洁形式，再代点。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 已知双曲线过点 $(4,\sqrt{3})$，且渐近线方程为 $y=\pm \frac{1}{2}x$，则该双曲线的标准方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 渐近线 $y=\pm \frac{1}{2}x$ 对应 $\frac{x^2}{4}-y^2=0$，故可设双曲线为 $\frac{x^2}{4}-y^2=\lambda$（$\lambda \ne 0$）。
2. 代入点 $(4,\sqrt{3})$ 求出 $\lambda$。
3. 整理成标准形式并确认焦点位置。

✅【答案】

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$\frac{x^2}{4}-y^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{1}{2}x$，说明 $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，即 $a=2b$，焦点在 $x$ 轴上。

于是可设双曲线方程为

$\frac{x^2}{4}-y^2=\lambda (\lambda \ne 0).$

代入点 $(4,\sqrt{3})$：

$\frac{16}{4}-3=\lambda ⟹4-3=1=\lambda .$

故所求双曲线的标准方程为

$\frac{x^2}{4}-y^2=1.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的标准方程与渐近线的关系；待定系数法求圆锥曲线方程。

2. 核心方法：“由渐近线设 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$“是求双曲线方程的首选设法——它把”形状”信息一次用足，只剩一个参数待定。

3. 避坑指南：① 参数 $\lambda$ 可正可负，本题算出 $\lambda =1>0$，焦点在 $x$ 轴；② 渐近线是 $y=\pm \frac{b}{a}x$，别把 $\frac{1}{2}$ 误当成 $\frac{a}{b}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：由渐近线与经过的点求双曲线方程是新课标Ⅱ卷填空题的常见形态，2015 年理科卷第 11 题、2022 年全国甲卷第 14 题同属此类。

2. 结论推广: 一般地，与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 共渐近线的双曲线可统一设为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$；$\lambda >0$ 时焦点在 $x$ 轴、$\lambda <0$ 时焦点在 $y$ 轴，一个式子覆盖两类情形。

3. 方法推广: 圆锥曲线求方程的两条路径：① 已知”形状”（离心率、渐近线、焦点位置）→ 用带参方程一次锁定；② 只知”若干点” → 设一般形式解方程组。前者更省力，遇到渐近线条件优先走第一条。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-11 单-双曲线性质
• 2022-全国甲卷-14