2013-新课标I卷理-20 解-椭圆定义

本题导读

本题考查椭圆。核心在于定义法、待定系数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 已知圆 $M:(x+1{)}^2+y^2=1$，圆 $N:(x-1{)}^2+y^2=9$，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 $N$ 内切，圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$.

(1)求 $C$ 的方程；

(2)$l$ 是与圆 $P$、圆 $M$ 都相切的一条直线，$l$ 与曲线 $C$ 交于 $A,B$ 两点，当圆 $P$ 的半径最大时，求 $|AB|$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（轨迹方程）：
   • 设动圆 $P$ 半径为 $R$，圆心坐标为 $(x,y)$。
   • 圆 $M$ 的圆心 $M(-1,0)$，半径 $r_M=1$；圆 $N$ 的圆心 $N(1,0)$，半径 $r_N=3$。
   • 外切条件：$|PM|=R+1$；内切条件：$|PN|=3-R$。
   • 消去 $R$ 得：$|PM|+|PN|=4$。
   • 根据椭圆定义，轨迹 $C$ 是以 $M,N$ 为焦点，长轴长 $2a=4$ 的椭圆。
2. 第二问（弦长计算）：
   • 确定圆 $P$ 半径最大值：由 $|PM|=R+1$ 且 $P$ 在椭圆上可知，当 $P$ 到 $M$ 距离最远时 $R$ 最大。在椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 中，$P$ 在长轴右端点 $(2,0)$ 时，$R=|PM|-1=2$。
   • 确定切线 $l$：此时圆 $P:(x-2{)}^2+y^2=4$，圆 $M:(x+1{)}^2+y^2=1$。
   • 直线 $l$ 与两圆均相切，需分情况讨论：
     • 情况一：$l$ 斜率不存在（垂直于 $x$ 轴）。
     • 情况二：$l$ 斜率存在，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程。
   • 求弦长：联立直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的方程，使用弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$ 求解。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；① 当 $l$ 的斜率不存在时；$|AB|=2\sqrt{3}$；② 当 $l$ 的斜率存在时

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 圆 $M$ 的圆心为 $M(-1,0)$，半径 $r_M=1$；圆 $N$ 的圆心为 $N(1,0)$，半径 $r_N=3$。 设动圆 $P$ 的半径为 $R$。 因为圆 $P$ 与圆 $M$ 外切，所以 $|PM|=R+1$。 因为圆 $P$ 与圆 $N$ 内切，所以 $|PN|=3-R$。 则 $|PM|+|PN|=(R+1)+(3-R)=4$。

由椭圆定义知，点 $P$ 的轨迹是以 $M,N$ 为焦点的椭圆。 其中 $2a=4⟹a=2$，半焦距 $c=1$。 则 $b^2=a^2-c^2=4-1=3$。 由于 $P$ 必须在圆 $N$ 内部且在圆 $M$ 外部，需满足相关几何约束（图中 $xeq-2$）。 故曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。

（Ⅱ）解： 设 $P(x,y)$ 是曲线 $C$ 上一点。由（Ⅰ）知 $R=|PM|-1=\sqrt{(x+1{)}^2+y^2}-1$。 在椭圆上，$y^2=3(1-\frac{x^2}{4})$，代入得 $R=\sqrt{x^2+2x+1+3-\frac{3}{4}{x}^2}-1=\sqrt{\frac{1}{4}{x}^2+2x+4}-1=\frac{1}{2}x+2-1=\frac{1}{2}x+1$。 当 $x=2$ 时，$R$ 取得最大值 $2$。此时圆心 $P(2,0)$，圆 $P$ 的方程为 $(x-2{)}^2+y^2=4$。

直线 $l$ 与圆 $M:(x+1{)}^2+y^2=1$ 和圆 $P:(x-2{)}^2+y^2=4$ 都相切。 ① 当 $l$ 的斜率不存在时： $l$ 与 $x$ 轴重合或垂直于 $x$ 轴。观察可知 $x=0$ 是两圆的公切线。 当 $x=0$ 时，代入椭圆方程得 $y^2=3$，即 $A(0,\sqrt{3}),B(0,-\sqrt{3})$。 此时 $|AB|=2\sqrt{3}$。

② 当 $l$ 的斜率存在时： 设 $l:y=kx+m$。根据圆心到直线距离等于半径： $\frac{|-k+m|}{\sqrt{1+k^2}}=1$ 且 $\frac{|2k+m|}{\sqrt{1+k^2}}=2$。 则 $|2k+m|=2|-k+m|$。

• 若 $2k+m=2(-k+m)$，得 $m=4k$。代入 $\frac{|3k|}{\sqrt{1+k^2}}=1⟹9k^2=1+k^2⟹k^2=\frac{1}{8}$。
• 若 $2k+m=-2(-k+m)=2k-2m$，得 $m=0$。代入得 $k^2=1+k^2$（无解）。 当 $k^2=\frac{1}{8}$ 时，直线 $l:y=\pm \frac{\sqrt{2}}{4}(x+4)$。 联立 $y=\frac{\sqrt{2}}{4}(x+4)$ 与 $3x^2+4y^2=12$： $3x^2+4\cdot \frac{2}{16}(x^2+8x+16)=12⟹3x^2+\frac{1}{2}{x}^2+4x+8=12⟹7x^2+8x-8=0$。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=-\frac{8}{7}$，$x_1{x}_2=-\frac{8}{7}$。 $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{\frac{64}{49}+\frac{32}{7}}=\sqrt{\frac{64+224}{49}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$。 弦长 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac{1}{8}}\cdot \frac{12\sqrt{2}}{7}=\frac{3}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{12\sqrt{2}}{7}=\frac{18}{7}$。

综上所述，$|AB|$ 的值为 $2\sqrt{3}$ 或 $\frac{18}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆定义（第一定义）的应用；直线与圆相切的判别；直线与椭圆相交的弦长公式。

核心方法：分类讨论思想。在求公切线时，必须考虑斜率不存在的情况。

避坑指南：- 第一问中注意 $R$ 消去后的常数项计算。 - 第二问中圆 $P$ 的半径最大值点 $(2,0)$ 的确定是后续所有计算的基础。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线的切线方程、阿波罗尼奥斯圆。

结论推广：两圆公切线的数量与两圆的位置关系密切相关。本题中两圆外切，共有 3 条公切线。

方法推广：弦长计算中，若斜率 $k$ 较复杂，使用 $\Delta$ 配合韦达定理是标准动作。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.04 圆与圆的位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-05 单-椭圆
• 2015-新课标II卷文-20 解-椭圆
• 2015-陕西卷文-20 解-椭圆定值