2023-新高考II卷-05 单-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，以及弦长与面积问题。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）已知椭圆 $C:\frac{x^2}{3}+y^2=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，直线 $y=x+m$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点。若 $△F_{1}AB$ 的面积是 $△F_{2}AB$ 面积的 $2$ 倍，则 $m=$（ ）

A. $\frac{2}{3}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　C. $-\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　D. $-\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 提取椭圆信息：由方程可知 $a^2=3,b^2=1$，计算半焦距 $c=\sqrt{a^2-b^2}$，写出焦点 $F_1,F_2$ 的坐标。
2. 面积比转化：观察到 $△F_{1}AB$ 和 $△F_{2}AB$ 共享底边 $AB$。根据三角形面积公式，面积之比等于其对应高之比，即两个焦点到直线 $y=x+m$ 的距离之比：$\frac{d_1}{d_2}=2$。
3. 建立方程：利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 建立关于 $m$ 的方程。
4. 检验有效性：直线与椭圆必须有交点，因此求得的 $m$ 必须满足联立方程后的判别式 $\Delta >0$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1. 椭圆方程为 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$，则 $a^2=3,b^2=1$．

2. 计算半焦距 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$．

3. 确定焦点坐标：$F_1(-\sqrt{2},0),F_2(\sqrt{2},0)$ [cite: fedb40]．

解法一：点到直线的距离法（代数逻辑）

4. 转化面积比为距离比： $△F_{1}AB$ 与 $△F_{2}AB$ 共底边 $AB$，故面积之比等于其对应高（焦点到直线的距离）之比： $\frac{S_{△F_{1}AB}}{S_{△F_{2}AB}}=\frac{d_1}{d_2}=2$ [cite: fedb78]．

5. 套用距离公式： 直线方程化为一般式 $x-y+m=0$． $d_1=\frac{|-\sqrt{2}-0+m|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|m-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$； $d_2=\frac{|\sqrt{2}-0+m|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|m+\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$．

6. 解方程求参数： $\frac{|m-\sqrt{2}|}{|m+\sqrt{2}|}=2\Rightarrow |m-\sqrt{2}|=2|m+\sqrt{2}|$．

   • 若 $m-\sqrt{2}=2(m+\sqrt{2})$，解得 $m=-3\sqrt{2}$；

   • 若 $m-\sqrt{2}=-2(m+\sqrt{2})$，解得 $3m=-\sqrt{2}\Rightarrow m=-\frac{\sqrt{2}}{3}$ [cite: fedb78]．

7. 联立方程进行判别式检验： 将 $y=x+m$ 代入椭圆方程并整理：$4x^2+6mx+3m^2-3=0$． 由 $\Delta =(6m{)}^2-4\times 4\times (3m^2-3)=48-12m^2>0$，得 $m^2<4$．

   • 当 $m=-3\sqrt{2}$ 时，$m^2=18>4$（不合题意，舍去）；

   • 当 $m=-\frac{\sqrt{2}}{3}$ 时，$m^2=\frac{2}{9}<4$（符合题意）．

8. 结论：故选 C．

解法二：几何比例法（相似三角形逻辑）

9. 寻找特征点：设直线 $y=x+m$ 与 $x$ 轴交于点 $M(-m,0)$．

10. 利用比例关系： 由面积比为 $2$ 可知 $d_1:d_2=2$。根据相似三角形性质，垂线段之比等于对应的斜线段（即焦点到交点的距离）之比： $\frac{|F_{1}M|}{|F_{2}M|}=2\Rightarrow \frac{|-m-(-\sqrt{2})|}{|-m-\sqrt{2}|}=2\Rightarrow \frac{|\sqrt{2}-m|}{|m+\sqrt{2}|}=2$ ．

11. 结果确认：解得 $m=-\frac{\sqrt{2}}{3}$（同解法一）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆焦点坐标、点到直线的距离公式、直线与圆锥曲线的位置关系。

2. 核心方法：几何比例转化法、判别式检验法。几何转化思想：看到“共底面积比”，第一反应应是“高度比”，即“点到直线的距离比”。这是解析几何中常见的简化技巧。

3. 避坑指南：求解含参几何问题时，求得参数后必须利用 $\Delta >0$ 检验直线与圆锥曲线是否存在交点，未检验极易误选包含增根的选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查解析几何中直线与圆锥曲线的基本位置关系，侧重于几何性质代数化的运算，考查“面积比转线段比”的几何背景。
2. 结论推广：直线与圆锥曲线相交形成的共底三角形面积问题，均可转化为对应顶点到直线的距离比。通过寻找直线与坐标轴的交点，可进一步利用平面几何相似性转化为 $x$ 轴上线段的比值，从而避免繁琐的解析几何通用方程联立运算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质
• 2013-辽宁卷理-09 单-直线斜率
• 2014-四川卷理-20 解-椭圆方程与性质