2013-新课标II卷文-22 解-几何证明选讲

本题导读

本题考查圆的切线的性质。核心在于割线定理转等积式、角的关系转化证直角的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） （选修 4-1：几何证明选讲）如图，$CD$ 为 $△ABC$ 外接圆的切线，$AB$ 的延长线交直线 $CD$ 于点 $D$，$E$，$F$ 分别为弦 $AB$ 与弦 $AC$ 上的点，且 $BC\cdot AE=DC\cdot AF$，$B$，$E$，$F$，$C$ 四点共圆.

(1)证明：$CA$ 是 $△ABC$ 外接圆的直径；

(2)若 $DB=BE=EA$，求过 $B$，$E$，$F$，$C$ 四点的圆的面积与 $△ABC$ 外接圆面积的比值.

🔍【思路分析】

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1. （1）由四点共圆得 $AB\cdot AE=AC\cdot AF$，与题设相比得 $\frac{DC}{AC}=\frac{BC}{AB}$。
2. 弦切角 $\angle DCB=A$，在 $△DBC$ 中 $\angle BDC=B-A$；再用正弦定理把 $\frac{DC}{AC}$ 化为 $\frac{\sin A}{\sin (B-A)}$，而 $\frac{BC}{AB}=\frac{\sin A}{\sin C}$，故 $\sin (B-A)=\sin C$，结合内角和得 $B=90^{\circ }$。
3. （2）取 $DB=BE=EA=1$，建系求两圆半径。

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 因为 $B$，$E$，$F$，$C$ 四点共圆，点 $A$ 对该圆的两条割线 $ABE$、$ACF$ 给出 $AB\cdot AE=AC\cdot AF.$ 结合题设 $BC\cdot AE=DC\cdot AF$，两式相除得 \dfrac{DC}{AC}=\dfrac{BC}{AB}. \tag{*} 记 $\angle CAB=A$，$\angle ABC=B$，$\angle ACB=C$。因为 $CD$ 是圆的切线，由弦切角定理得 $\angle DCB=A$；又 $D$，$B$，$A$ 三点依次共线，所以 $\angle DBC=\pi -B$，从而在 $△DBC$ 中 $\angle BDC=\pi -(\pi -B)-A=B-A.$ 在 $△DBC$ 中由正弦定理 $\frac{DC}{BC}=\frac{\sin \angle DBC}{\sin \angle BDC}=\frac{\sin B}{\sin (B-A)};$ 在 $△ABC$ 中由正弦定理 $\frac{AC}{BC}=\frac{\sin B}{\sin A}.$ 两式相除得 $\frac{DC}{AC}=\frac{\sin A}{\sin (B-A)}.$ 另一方面，$\frac{BC}{AB}=\frac{\sin A}{\sin C}$。代入 $(\ast )$： $\frac{\sin A}{\sin (B-A)}=\frac{\sin A}{\sin C}⟹\sin (B-A)=\sin C.$ 因为 $B-A=\angle BDC\in (0,\pi )$，$C\in (0,\pi )$，所以 $B-A=C$ 或 $B-A+C=\pi$。 若 $B-A+C=\pi$，结合 $A+B+C=\pi$ 得 $A=0$，不合题意；故 $B-A=C$，即 $A+C=B$。 又 $A+B+C=\pi$，所以 $2B=\pi$，即 $B=\frac{\pi }{2}.$ 于是 $\angle ABC=90^{\circ }$，由”圆周角为直角的弦是直径”知 $CA$ 是 $△ABC$ 外接圆的直径。 （2） 因为相似变换不改变所求面积比，不妨令 $DB=BE=EA=1.$ 取直线 $AB$ 为 $x$ 轴，$B$ 为原点： $D(-1,0),B(0,0),E(1,0),A(2,0).$ 由（1）知 $\angle CBA=90^{\circ }$，故 $C$ 在过 $B$ 且垂直于 $AB$ 的直线上，设 $C(0,h)$（$h>0$）。 $△ABC$ 的外接圆以 $AC$ 为直径，圆心为 $AC$ 的中点 $O\left(1,\frac{h}{2}\right)$。 因为 $CD$ 是该圆在 $C$ 处的切线，所以 $OC\perp DC$，即 $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{DC}=(-1,\frac{h}{2})\cdot (-1,-h)=1-\frac{h^2}{2}=0⟹h^2=2.$ 过 $B$，$E$，$F$，$C$ 四点的圆的圆心在 $BE$ 与 $BC$ 的垂直平分线上，故圆心 $O_1\left(\frac{1}{2},\frac{h}{2}\right),$ 半径平方 $R_1^2=O_1{B}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{h^2}{4}=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}.$ $△ABC$ 外接圆的半径平方 $R^2=O{A}^2=(2-1{)}^2+{\left(0-\frac{h}{2}\right)}^2=1+\frac{h^2}{4}=1+\frac{2}{4}=\frac{3}{2}.$ 所以两圆面积之比为 $\frac{\pi R_1^2}{\pi R^2}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线与四点共圆的割线定理、圆周角定理

核心方法：由割线定理转出等积式，配合弦切角定理与正弦定理证明 $B=90^{\circ }$；第二问用”数形结合 + 垂直平分线定圆心”求面积比

避坑指南：（2）中 $B$、$E$、$F$、$C$ 四点共圆，其圆心是 $BE$ 与 $BC$ 的垂直平分线的交点，不是 $BE$ 的中点；相似变换不改变面积比，故可令 $DB=BE=EA=1$ 简化计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何证明选讲（选修 4-1）。

结论推广：切割线/割线定理：过圆外一点的两条割线满足”各割线全长与圆外部分的乘积相等”；弦切角等于它所夹弧对的圆周角。

方法推广：证”弦为直径”的常用路径：证该弦所对圆周角为直角。圆中求面积比可先作相似变换取特殊数值简化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

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• 2014-新课标II卷理-22 解-切线的性质