2013-陕西卷文-16 填-几何证明选讲

本题导读

本题考查几何证明选讲，以及相似三角形的判定与性质。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)） （选修 4-1 几何证明选讲）如图，$AB$ 与 $CD$ 相交于点 $E$，过 $E$ 作 $BC$ 的平行线与 $AD$ 的延长线交于点 $P$，已知 $\angle A=\angle C$，$PD=2DA=2$，则 $PE=$ 　　.

🔍【思路分析】

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1. $DA=1$，$PD=2$ → $PA=3$。
2. $EP\parallel BC$ → $\angle PED=\angle C=\angle A$；又 $\angle P$ 公共 → $△PED\backsim △PEA$。
3. $\frac{PE}{PA}=\frac{PD}{PE}$ → $P{E}^2=PD\cdot PA=2\times 3=6$ → $PE=\sqrt{6}$。

✅【答案】

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$\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $PD=2DA=2$ 得 $DA=1$，$PA=PD+DA=3$。 因为 $EP\parallel BC$，所以 $\angle PED=\angle C,$ 又已知 $\angle A=\angle C$，故 $\angle PED=\angle A$；而 $\angle P$ 是 $△PED$ 与 $△PEA$ 的公共角。 于是 $△PED\backsim △PEA$（两角对应相等），从而 $\frac{PE}{PA}=\frac{PD}{PE}\Rightarrow P{E}^2=PD\cdot PA=2\times 3=6,$ 故 $PE=\sqrt{6}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何证明选讲（相似三角形与切割线模型）

核心方法：$PD=2DA=2\Rightarrow DA=1$，$PA=PD+DA=3$；由 $\angle A=\angle C$ 且 $EP\parallel BC$ 得 $\angle PED=\angle A$，又 $\angle P$ 公共 → $△PED\backsim △PEA$ → $P{E}^2=PD\cdot PA=2\times 3=6$ → $PE=\sqrt{6}$

避坑指南：证相似时用平行线把 $\angle C$ 平移到 $E$ 处（$\angle PED=\angle C=\angle A$），再加公共角 $\angle P$；结论写成比例式后交叉相乘得 $P{E}^2=PD\cdot PA$——这是”切割线”型的乘积结构，注意对应边别配错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何证明选讲（相似三角形、线段乘积结构）。

结论推广：平行线导角；两角对应相等判相似。

方法推广：找两组等角 → 写相似比 → 交叉相乘得 $P{E}^2=PD\cdot PA$。

🔗【关联脉络】

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