2013-新课标II卷理-12 单-直线的截距与交点

本题导读

本题考查直线方程，以及直线的截距与交点。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 12. 已知点 $A(-1,0)$，$B(1,0)$，$C(0,1)$.直线 $y=ax+b$ ($a>0$) 将 $△ABC$ 分割为面积相等的两部分，则 $b$ 的取值范围是()

A. $(0,1)$　　B. $(1-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$　　C. $(1-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{3}]$　　D. $[\frac{1}{3},\frac{1}{2})$

🔍【思路分析】

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1. 分析基础图形：$△ABC$ 是以 $AB$ 为底的等腰直角三角形，底边长为 2，高为 1，面积 $S=\frac{1}{2}\times 2\times 1=1$。
2. 确定分割目标：直线平分面积，即被直线分割出的一部分图形面积必须为 $1/2$。
3. 分析直线动态：由于 $a>0$，直线向右上方倾斜。根据截距 $b$ 的变化，直线与三角形边界的交点位置会发生改变。
4. 分类讨论临界位置：
   • 当直线经过顶点 $A(-1,0)$ 时，此时直线平分面积需经过对边 $BC$ 的中点，可求得一个 $b$ 值。
   • 当直线与 $x$ 轴交点在 $A$ 点左侧或右侧时，分割出的图形分别为四边形或小三角形。
5. 建立不等式：利用面积公式 $S=\frac{1}{2}$ 建立 $a$ 与 $b$ 的关系，结合 $a>0$ 及交点在边上的约束条件推导 $b$ 的范围。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract


第一步：求出关键临界点 当直线经过点 $A(-1,0)$ 时： 代入直线方程得 $0=-a+b⟹a=b$。 此时直线与 $BC$（方程为 $x+y=1$）交于 $N$。 由面积平分，点 $N$ 必为 $BC$ 的中点，即 $N(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。 代入 $y=ax+b$ 得 $\frac{1}{2}=a(\frac{1}{2})+b⟹\frac{1}{2}=\frac{1}{2}b+b=\frac{3}{2}b⟹b=\frac{1}{3}$。

第二步：分类讨论 $b$ 的范围

情况 ①：直线与 $x$ 轴交点 $M$ 在线段 $AB$ 上（即 $M$ 在 $A$ 点右侧） 此时直线、线段 $MB$ 和线段 $BC$ 围成一个小三角形。 $M(-\frac{b}{a},0)$，则 $|MB|=1-(-\frac{b}{a})=\frac{a+b}{a}$。 直线 $BC$ 方程为 $x+y=1$，联立 $y=ax+b$ 得交点 $N$ 的纵坐标 $y_N=\frac{a+b}{a+1}$。 面积 $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{a+b}{a}\cdot \frac{a+b}{a+1}=\frac{1}{2}⟹(a+b{)}^2=a(a+1)=a^2+a$。 由于 $a>0$，开方整理得 $b=\sqrt{a^2+a}-a=\frac{a}{\sqrt{a^2+a}+a}$。 当 $a\to +\infty$ 时，$b\to \frac{1}{2}$； 当直线过 $A$ 点时，$a=b=1/3$。 此段范围内 $b\in [\frac{1}{3},\frac{1}{2})$。

情况 ②：直线与 $x$ 轴交点 $M$ 在 $A$ 点左侧 此时直线与 $AC$ 交于 $P$，与 $BC$ 交于 $N$，围成靠近顶点 $C$ 的小三角形 $△CPN$。 $AC$ 方程：$y=x+1$；$BC$ 方程：$y=-x+1$。 求得 $P(\frac{b-1}{1-a},\frac{1-ab}{1-a})$，$N(\frac{1-b}{a+1},\frac{a+b}{a+1})$。 利用面积公式 $S=\frac{1}{2}|x_P{y}_N-x_N{y}_P|$ 或利用 $C$ 到直线的距离，经过复杂化简（或代入临界法）： 当直线平行于 $AC$ 时（$a=1$），$b=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$。 此段范围内 $b\in (1-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{3})$。

第三步：综合结论 并集得 $b$ 的取值范围是 $(1-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解析几何中利用直线分割面积的平衡问题；参数方程与不等式的综合。

核心方法：分类讨论与边界验证。在选择题中，通过计算直线过顶点 $A$ 时的 $b=1/3$ 可以迅速排除 A、B（若 $1/3$ 不在范围内）或 C、D（若范围不完整）。

避坑指南：注意 $a>0$ 的限制，这决定了直线旋转的方向，从而限定了它只能与 $AC,BC$ 相交。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点到直线的距离、二元一次不等式组表示的平面区域。

结论推广：对于三角形面积等分线问题，若直线过定点，常用面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$。

方法推广：面对压轴选择题，若计算极其复杂，可尝试取 $a$ 的极限值（如 $a\to 0$ 或 $a\to \infty$）来观察 $b$ 的变化趋势。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2024-北京卷-13 填-直线与双曲线的交点
• 2023-新高考II卷-15 填-直线与圆
• 2015-湖南卷文-13 填-直线与圆