2013-新课标II卷理-19 解-频率分布直方图

本题导读

本题考查频率分布直方图。核心在于分段函数构造法、概率估算法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 19. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 $1\text{t}$ 该产品获利润 $500$ 元，未售出的产品，每 $1\text{t}$ 亏损 $300$ 元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示（注：图中频率分布直方图数据缺失，需根据上下文频率推断）.经销商为下一个销售季度购进了 $130\text{t}$ 该农产品.以 $x$（单位：$\text{t}$，$100\le x\le 150$）表示下一个销售季度内的市场需求量，$T$（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

(1)将 $T$ 表示为 $x$ 的函数；

(2)根据直方图估计利润 $T$ 不少于 $57000$ 元的概率；

（III）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率.求 $T$ 的数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（建立函数）：

   • 当市场需求量 $x$ 小于进货量 $130$ 时，实际销量为 $x$，未售出量为 $130-x$。利润 = 销量利润 - 亏损。

   • 当需求量 $x$ 大于或等于 $130$ 时，进货的 $130$ 全部售罄。利润为定值。

2. 第二问（概率估算）：

   • 利用第一问建立的函数关系，将“利润 $T\ge 57000$”转化为关于需求量 $x$ 的不等式。

   • 在频率分布直方图中，计算对应 $x$ 范围的矩形面积之和。

3. 第三问（数学期望）：

   • 找出各区间的点值：$105,115,125,135,145$。

   • 计算每个中点值对应的利润 $T$ 以及该需求量发生的概率（频率）。

   • 列出分布列并计算 $E(T)=\sum T_i{P}_i$。

✅【答案】

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$0.7$；需求量中点 x；频率 P；利润 T

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解：

由题意知，购进量为 $130\text{t}$。

1. 当 $x\in [100,130)$ 时：

   $T=500x-300(130-x)=800x-39000$

2. 当 $x\in [130,150]$ 时：

   $T=500\times 130=65000$

故 $T$ 关于 $x$ 的函数关系式为：

$T=\{\begin{array}{ll}800x-39000,& 100\le x<130\\ 65000,& 130\le x\le 150\end{array}$

（Ⅱ）解：

欲使 $T\ge 57000$：

• 若 $100\le x<130$，由 $800x-39000\ge 57000$ 得 $800x\ge 96000$，即 $x\ge 120$。此时 $120\le x<130$。

• 若 $130\le x\le 150$，$T=65000\ge 57000$ 恒成立。

  综上，利润 $T$ 不少于 $57000$ 元等价于市场需求量 $x\in [120,150]$。

根据直方图（推断各组频率）：

假设 $[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]$ 的频率分别为 $0.1,0.2,0.3,0.2,0.2$。

则 $P(x\in [120,150])=0.3+0.2+0.2=0.7$。

所以利润 $T$ 不少于 $57000$ 元的概率估计值为 $0.7$。

（III）解：

依题意，需求量 $x$ 取各区间中点的概率及对应利润 $T$ 如下表：

需求量中点 x	频率 P	利润 T
$105$	$0.1$	$800\times 105-39000=45000$
$115$	$0.2$	$800\times 115-39000=53000$
$125$	$0.3$	$800\times 125-39000=61000$
$135$	$0.2$	$65000$
$145$	$0.2$	$65000$

利润 $T$ 的分布列为：

T	45000	53000	61000	65000
$P$	$0.1$	$0.2$	$0.3$	$0.4$

数学期望为：

$E(T)=45000\times 0.1+53000\times 0.2+61000\times 0.3+65000\times 0.4$

$E(T)=4500+10600+18300+26000=59400$（元）。

故利润 $T$ 的数学期望为 $59400$ 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数模型、直方图频率计算、离散型随机变量分布列与期望。

核心方法：处理期望题时，务必先确定变量的所有可能取值及其对应的概率，建议通过表格法清晰列出。

避坑指南：第一问中易忽略需求量大于进货量的情形；第三问计算期望时，注意 $135$ 和 $145$ 对应的利润是相同的，可以合并计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正态分布下的利润估算、条件概率在销售预测中的应用。

结论推广：在报童模型（库存模型）中，利润函数通常都是分段线性的。

方法推广：连续型变量的离散化（取中点值）是统计学中简化计算的常见手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-18 解-频率分布直方图
• 2015-广东卷文-17 解-频率分布直方图
• 2014-重庆卷文-17 解-频率分布直方图