2015-新课标II卷文-18 解-频率分布直方图

本题导读

统计图表题。第一步把频数表换算成”频率/组距”再作图；第二步用直方图的”重心位置看平均、图形胖瘦看分散”作定性比较；第三步用频率直接估计概率。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 某公司为了了解用户对其产品的满意度，从 $A,B$ 两地区分别随机调查了 $40$ 个用户，根据用户对其产品的满意度的评分，得到 $A$ 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 $B$ 地区用户满意度评分的频率分布表.

$B$ 地区用户满意度评分的频率分布表

| 满意度评分分组 | $[50,60)$ | $[60,70)$ | $[70,80)$ | $[80,90)$ | $[90,100]$ | | 频数 | $2$ | $8$ | $14$ | $10$ | $6$ |

(1) 在图中作出 $B$ 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

(2) 根据用户满意度评分，将用户的满意度评分分为三个等级：

| 满意度评分 | 低于 $70$ 分 | $70$ 分到 $89$ 分 | 不低于 $90$ 分 | | 满意度等级 | 不满意 | 满意 | 非常满意 |

估计哪个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大，说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）先把频数化成频率（除以 $40$），再除以组距 $10$ 得”频率/组距”，即每个矩形的高。
2. 画图后作定性比较：看哪个直方图的”重心”更靠右（平均值更大）、哪个更”瘦高”（更集中）。
3. （2）“不满意”即评分低于 $70$ 分，其概率用前两组频率之和估计；把两地区的结果作比较。

✅【答案】

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(1) $B$ 地区评分的平均值高于 $A$ 地区，且 $B$ 地区评分更集中（分散程度更小），$A$ 地区更分散

(2) $A$ 地区用户的满意度等级为不满意的概率大

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由 $B$ 地区频率分布表，各组频率 $=\frac{\text{频数}}{40}$，各组”频率/组距”$=\frac{\text{频率}}{10}$：

分组	$[50,60)$	$[60,70)$	$[70,80)$	$[80,90)$	$[90,100]$
频率	$0.05$	$0.20$	$0.35$	$0.25$	$0.15$
频率/组距	$0.005$	$0.020$	$0.035$	$0.025$	$0.015$

据此在题图坐标系中作出 $B$ 地区频率分布直方图（五个矩形，高分别为 $0.005$、$0.020$、$0.035$、$0.025$、$0.015$）。

由两地区直方图对比可知：$B$ 地区的图形”重心”整体偏右，且更集中于 $[70,80)$ 一带、图形较瘦高；$A$ 地区的图形较为扁平、向两端散开。因此 $B$ 地区满意度评分的平均值高于 $A$ 地区，且 $B$ 地区评分的分散程度小于 $A$ 地区。

（2） “不满意”对应评分低于 $70$ 分。

对 $B$ 地区，由频率分布表，评分低于 $70$ 分的频率之和为

$0.05+0.20=0.25,$

故 $B$ 地区用户不满意的概率估计值为 $0.25$.

对 $A$ 地区，由直方图可读出评分低于 $70$ 分（即 $[40,50)$、$[50,60)$、$[60,70)$ 三段）对应矩形面积之和约为 $0.6$，即 $A$ 地区不满意的概率估计值约为 $0.6$.

因为 $0.6>0.25$，所以 $A$ 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布表与频率分布直方图的互化；用直方图估计平均值与分散程度；用频率估计概率。

2. 核心方法：直方图中”矩形的高是频率/组距、面积才是频率”，一切定量计算都要落在面积上；定性的”平均值看重心、分散程度看胖瘦”可以快速作答。

3. 避坑指南：① 作图前务必先除以组距再画高，直接把频率当高是本题最典型的错误；② 比较”分散程度”看的是图形的扁平与瘦高，不是最高的那根柱子；③ 第（2）问要先弄清”不满意”对应哪些分组，别把 $[70,80)$ 也算进去。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：频率分布直方图是新课标Ⅱ卷统计解答题的主流载体（2013、2014 年新课标Ⅱ卷同类位置均考统计图表与概率估计），2015 年理科卷第 18 题也考统计。

2. 结论推广: 由直方图还可定量估计平均值与方差：各组用”组中值 $\times$ 频率”求和得平均值，再用”（组中值 $-$ 平均值）${}^2\times$ 频率”求和得方差。本题只要求定性比较，但换一问法就要能落笔计算。

3. 方法推广: 统计图表题三步：① 统一口径（频数、频率、频率除组距，弄清图上的量代表什么）；② 作图或读数（面积对应频率）；③ 按题目要求的层次作答——“定性比较”只需重心与胖瘦，“定量估计”再动笔算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-18 解-茎叶图
• 2014-新课标II卷理-19 解-最小二乘法