2013-江苏卷-14 填-等比数列的综合应用

本题导读

本题考查等比数列，以及等比数列的综合应用。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） 在正项等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_5=\frac{1}{2}$，$a_6+a_7=3$，则满足 $a_1+a_2+\cdots +a_n>a_1{a}_2\cdots a_n$ 的最大正整数 $n$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求公比与首项：由 $a_6+a_7=a_{5}q+a_5{q}^2=3$ 解出公比 $q$（注意 $q>0$），再由 $a_1=\frac{a_5}{q^4}$ 求首项。
2. 写出两个目标量：前 $n$ 项和 $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$；前 $n$ 项之积 $a_1{a}_2\cdots a_n=a_1^n{q}^{\frac{n(n-1)}{2}}$，两者都化成以 $2$ 为底的幂。
3. 转化为指数不等式：把 $S_n>a_1{a}_2\cdots a_n$ 化为「$2$ 的指数」的大小比较，只需比较指数。
4. 定界并验算：由指数不等式找出临界 $n$，再对临界值直接代入验算确认。

✅【答案】

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12

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求公比与首项

设公比为 $q$（$q>0$）。由 $a_5=\frac{1}{2}$ 及 $a_6+a_7=3$，得 $\frac{1}{2}q+\frac{1}{2}{q}^2=3$，即 $q^2+q-6=0$， 解得 $q=2$（$q=-3$ 舍去）。 于是 $a_1=\frac{a_5}{q^4}=\frac{\frac{1}{2}}{2^4}=\frac{1}{32}=2^{-5}$，故 $a_n=2^{n-6}$。

第二步：写出前 $n$ 项和与前 $n$ 项之积

$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2^n-1}{32}=2^{n-5}-2^{-5}.$

$a_1{a}_2\cdots a_n=a_1^n{q}^{\frac{n(n-1)}{2}}=2^{-5n}\cdot 2^{\frac{n(n-1)}{2}}=2^{\frac{n^2-11n}{2}}.$

第三步：转化为指数不等式

不等式 $S_n>a_1{a}_2\cdots a_n$ 即 $2^n-1>2^{\frac{n^2-11n+10}{2}}.$ 记指数差 $D(n)=n-\frac{n^2-11n+10}{2}=\frac{-n^2+13n-10}{2}$，当 $D(n)>0$ 时右端小于 $2^n$。

第四步：确定最大正整数 $n$

由 $-n^2+13n-10>0$ 得 $n^2-13n+10<0$， 解得 $\frac{13-\sqrt{129}}{2}<n<\frac{13+\sqrt{129}}{2}$，即 $0.82<n<12.18$。 所以当 $2\le n\le 12$ 时不等式成立，当 $n\ge 13$ 时不等式不成立。

直接验算：$n=12$ 时 $S_{12}=\frac{2^{12}-1}{32}=\frac{4095}{32}\approx 127.97$，而 $a_1{a}_2\cdots a_{12}=2^6=64$，左边大于右边，成立； $n=13$ 时 $S_{13}=\frac{2^{13}-1}{32}=\frac{8191}{32}\approx 255.97$，而 $a_1{a}_2\cdots a_{13}=2^{13}=8192$，左边小于右边，不成立。 （$n=1$ 时两边相等，不满足严格大于。）

故满足条件的最大正整数为 $n=12$。

故答案为：12。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的通项公式、前 $n$ 项和公式，以及「和与积」型的数列不等式。

核心方法：化归为同底数幂比较指数。求和与求积都用公式化成 $2$ 的幂，把不等式转化为指数大小比较，避免逐项计算。

避坑指南：- 解 $q^2+q-6=0$ 后务必用「正项数列」条件舍去 $q=-3$。 - 求积公式 $a_1{a}_2\cdots a_n=a_1^n{q}^{\frac{n(n-1)}{2}}$ 的指数是 $\frac{n(n-1)}{2}$，不要漏掉分母 $2$。 - 由指数不等式得出 $n$ 的范围后，要对临界值（$12$ 与 $13$）代入验算，避免只凭近似值下结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列的通项公式、前 $n$ 项和公式、数列不等式。

结论推广：对 $a_1=2^{-5}$、$q=2$ 的等比数列，$S_n>a_1{a}_2\cdots a_n$ 的解集为 $2\le n\le 12$，这正是本题答案的来源。

方法推广：凡形如「$S_n$ 与 $T_n=\prod a_k$ 比大小」的数列问题，都可先把两者统一为同底数幂（或取同底对数），再比较指数，最后对临界项验算。当 $a_1<1$ 时，$\prod a_k$ 呈先减后增的形态，不宜仅凭单调性判断。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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