2013-江苏卷-23 解-数列的综合应用

本题导读

本题考查归纳、类比、猜想。核心在于分组求和法、变量代换与分类讨论的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） 设数列 $\{a_n\}$：$1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,\dots ,(-1{)}^{k-1}k,\dots ,(-1{)}^{k-1}k,\dots$（共 $k$ 个）. 即当 $\frac{(k-1)k}{2}<n\le \frac{(k+1)k}{2}$ ($k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) 时，$a_n=(-1{)}^{k-1}k$. 记 $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). 对于 $l\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，定义集合 $P_l=\{n\mid S_n\text{ 为 }{a}_n\text{ 的整数倍},n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\text{ 且 }1\le n\le l\}$.

(1)求 $P_{11}$ 中元素个数；

(2)求集合 $P_{2000}$ 中元素个数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解数列结构：该数列按绝对值大小分组，第 $k$ 组包含 $k$ 个元素，值为 $(-1{)}^{k-1}k$。
2. 求和规律推导：
   • 设前 $k$ 组的总项数为 $M_k=\frac{k(k+1)}{2}$。
   • 前 $k$ 组的总和 $T_k={\sum }_{i=1}^{k}i\cdot (-1{)}^{i-1}\cdot i=1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots +(-1{)}^{k-1}{k}^2$。
   • 利用平方差公式计算 $T_k$：
     • 若 $k$ 为偶数，$T_k=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+\cdots =-(3+7+11+\dots )=-\frac{k(k+1)}{2}$。
     • 若 $k$ 为奇数，$T_k=\frac{k(k+1)}{2}$。
     • 统一公式：$T_k=(-1{)}^{k-1}\frac{k(k+1)}{2}$。
3. 判定条件分析： 当 $n$ 在第 $k$ 组时，项数为 $n=\frac{(k-1)k}{2}+m$ ($1\le m\le k$)。 $S_n=T_{k-1}+m\cdot a_n=(-1{)}^{k-2}\frac{(k-1)k}{2}+m\cdot (-1{)}^{k-1}k$。 条件“$S_n$ 是 $a_n$ 的整数倍”即 $\frac{S_n}{(-1{)}^{k-1}k}=\frac{-\frac{(k-1)k}{2}+mk}{k}=m-\frac{k-1}{2}$ 必须为整数。 这意味着 $k-1$ 必须是 2 的倍数，即 $k$ 必须为奇数。

✅【答案】

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$P_l$ 的元素来自于所有组号为奇数的完整组，以及最后一组（若为奇数）的部分项。；1008

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 列举数列前 11 项： 第 1 组 ($k=1$): 1 (共1项) 第 2 组 ($k=2$): -2, -2 (共2项) 第 3 组 ($k=3$): 3, 3, 3 (共3项) 第 4 组 ($k=4$): -4, -4, -4, -4 (共4项) 第 5 组 ($k=5$): 5 (第 11 项) 计算 $S_n$ 与 $a_n$ 关系：

• $k=1$: $n=1,S_1=1,a_1=1,1/1=1\in \mathbb{Z}$，符合。
• $k=2$: $k$ 为偶数，根据分析 $m-\frac{2-1}{2}=m-0.5$ 永不为整数，不符合。
• $k=3$: $n\in \{4,5,6\}$。$S_n$ 需为 3 的倍数。 $S_4=1-2-2+3=0$, 符合。 $S_5=0+3=3$, 符合。 $S_6=3+3=6$, 符合。
• $k=4$: $k$ 为偶数，不符合。
• $k=5$: $n=11$ 是第 5 组第 1 项。$m-\frac{5-1}{2}=1-2=-1\in \mathbb{Z}$，符合。 综上，$P_{11}=\{1,4,5,6,11\}$，元素个数为 5。

（2）解： 由（1）可知，$n$ 所在的组号 $k$ 必须为奇数时，该组内所有 $m\in \{1,2,\dots ,k\}$ 均满足条件。 即：$P_l$ 的元素来自于所有组号为奇数的完整组，以及最后一组（若为奇数）的部分项。 首先确定 $n=2000$ 所在的组号 $K$： $\frac{K(K+1)}{2}\le 2000⟹K^2+K-4000\le 0$。 $\sqrt{4000}\approx 63.2$。 当 $K=62$ 时，$M_{62}=\frac{62\times 63}{2}=1953$。 当 $K=63$ 时，$M_{63}=\frac{63\times 64}{2}=2016$。 故 $n=2000$ 位于第 63 组，组内序号 $m=2000-1953=47$。 因为 63 是奇数，由通项分析可知，第 63 组中前 47 项全部符合条件。 符合条件的 $n$ 的总数为： 组号 $k=1,3,5,\dots ,61$ 的所有项数之和 + 第 63 组的前 47 项。 总个数 $N=1+3+5+\cdots +61+47$。 这是一个等差数列求和： $1+3+\cdots +61$ 共有 $\frac{61-1}{2}+1=31$ 项。 和为 $31^2=961$。 总个数 $=961+47=1008$。

故答案为：1008。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：计算第 63 组时，务必确认该组号是否为奇数。如果是偶数组，则该组对集合贡献为 0；本题 63 为奇数，故贡献前 47 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：本题本质是阶梯函数的整除性。若 $a_n$ 增长速度变为 $k^2$ 或其他规律，判定条件将涉及更高阶的数论分析。

方法推广：对于大数值（如 2000）的数列问题，先通过小范围（如 11）找规律（归纳法），再推广到一般情况（演绎法）是标准解题路径。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

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