2011-湖南卷文-20 解-设备折旧数列

本题导读

本题考查数列的应用，以及等差数列与等比数列的通项。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 某企业在第 $1$ 年初购买一台价值为 $120$ 万元的设备 $M$，$M$ 的价值在使用过程中逐年减少. 从第 $2$ 年到第 $6$ 年，每年初 $M$ 的价值比上年初减少 $10$ 万元；从第 $7$ 年开始，每年初 $M$ 的价值为上年初的 $75\%$.

(1) 求第 $n$ 年初 $M$ 的价值 $a_n$ 的表达式；

(2) 设 $A_n=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$，若 $A_n$ 大于 $80$ 万元，则 $M$ 继续使用，否则须在第 $n$ 年初对 $M$ 更新. 证明：须在第 $9$ 年初对 $M$ 更新.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 分段求通项（等差段 + 等比段）
2. 步骤2：(2) 证明 $A_8>80$ 且 $A_9⩽80$
3. 步骤3：结合 $A_n$ 递减定出第 $9$ 年

✅【答案】

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(1) $a_n=\{\begin{array}{ll}130-10n,& n⩽6,\\ 70{\left(\frac{3}{4}\right)}^{n-6},& n⩾7.\end{array}$

(2) 须在第 $9$ 年初对 $M$ 更新（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 第 $1$ 年初价值 $a_1=120$；第 $2$ 到 $6$ 年初逐年减 $10$：$a_n=120-10(n-1)=130-10n$（$n⩽6$），$a_6=70$。

从第 $7$ 年初起每年初为上年初的 $75\%$：$a_n=a_{n-1}\times \frac{3}{4}$（$n⩾7$），故 $a_n=70{\left(\frac{3}{4}\right)}^{n-6}$（$n⩾7$）。

综上，$a_n=\{\begin{array}{ll}130-10n,& n⩽6,\\ 70{\left(\frac{3}{4}\right)}^{n-6},& n⩾7.\end{array}$

(2) 先算各年初价值：$a_1=120$，$a_2=110$，$a_3=100$，$a_4=90$，$a_5=80$，$a_6=70$，$a_7=70\times \frac{3}{4}=\frac{105}{2}$，$a_8=\frac{105}{2}\times \frac{3}{4}=\frac{315}{8}$，$a_9=\frac{315}{8}\times \frac{3}{4}=\frac{945}{32}$。

$A_8=\frac{a_1+\cdots +a_8}{8}=\frac{\frac{(120+70)\times 6}{2}+\frac{105}{2}+\frac{315}{8}}{8}=\frac{570+\frac{525}{8}}{8}=\frac{5295}{64}\approx 82.7>80$。

$A_9=\frac{A_8\times 8+a_9}{9}=\frac{5295}{64}\times \frac{8}{9}+\frac{945}{288}=\frac{22125}{288}\approx 76.8⩽80$。

又 $\{a_n\}$ 递减，当 $n<8$ 时 $A_n⩾A_8>80$（$A_n$ 随 $n$ 增大而减小：$a_{n+1}<A_n$ 时 $A_{n+1}=\frac{n{A}_n+a_{n+1}}{n+1}<A_n$）；当 $n>9$ 时 $A_n⩽A_9⩽80$。

故使 $A_n⩽80$ 的最小 $n$ 为 $9$，即须在第 $9$ 年初对 $M$ 更新。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段数列建模；等差、等比通项；$A_n$ 的单调性与临界年份的确定

核心方法：前段等差、后段等比分段写通项；(2) 用”两头夹”：验证 $A_8>80$ 与 $A_9⩽80$，再说明 $A_n$ 单调递减

避坑指南：$a_n=70{\left(\frac{3}{4}\right)}^{n-6}$ 的指数是 $n-6$（从 $a_6=70$ 起算），写成 $n-7$ 或 $n-5$ 全盘皆错；(2) 中只验证 $A_9⩽80$ 不够，还必须说明 $A_8>80$（以及 $A_n$ 递减保证”第 9 年是第一年”），否则”须在第 9 年初更新”的论证不完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列应用题与 2024-北京卷-14、2011-湖北卷文-17、2013-江苏卷-23 同族。

结论推广：推广：$A_n=\frac{S_n}{n}$ 的单调性可由 $a_{n+1}$ 与 $A_n$ 的大小比较判定（$a_{n+1}<A_n\Rightarrow A_{n+1}<A_n$），本题 $a_n$ 递减保证 $A_n$ 递减，是”找临界年份”类问题的通用论证格式。

方法推广：数列应用大题：(1) 分段建模时标清段落的起始下标；(2) 证明”第 $n_0$ 年发生”须证三件事——临界点两侧不等号方向、临界点本身成立、序列单调（排除回头）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2024-北京卷-14 填-等比数列应用题
• 2011-湖北卷文-17 解-等差等比数列
• 2013-江苏卷-23 解-数列的综合应用