2013-江西卷理-17 解-由 S_n 求 a_n

本题导读

本题考查数列的通项公式。核心在于因式分解法、裂项相消法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)） 正项数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足：$S_n^2-(n^2+n-1)S_n-(n^2+n)=0$.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n$；

(2)令 $b_n=\frac{n+1}{(n+2{)}^2{a}_n^2}$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$.证明：对于任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，都有 $T_n<\frac{5}{64}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求通项）：
   • 解方程：将已知等式看作关于 $S_n$ 的一元二次方程，利用因式分解法求出 $S_n$。
   • 筛选解：利用“正项数列”即 $S_n>0$ 排除负根。
   • 求通项：利用 $a_1=S_1$ 及 $a_n=S_n-S_{n-1}$ ($n\ge 2$) 求出 $a_n$。
2. 第二问（求和并证明）：
   • 代入化简：将第一问求得的 $a_n$ 代入 $b_n$ 表达式。
   • 构造裂项：观察分式特征，利用裂项技巧将 $b_n$ 分解为两项之差。
   • 求和消项：利用裂项相消法求出 $T_n$ 的闭式表达式。
   • 放缩证明：观察 $T_n$ 的结构，去掉减项部分进行放缩，从而证明不等式。

✅【答案】

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所以数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=2n$。；所以 $T_n<\frac{1}{16}\cdot \frac{5}{4}=\frac{5}{64}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 由 $S_n^2-(n^2+n-1)S_n-(n^2+n)=0$，因式分解得： $[S_n-(n^2+n)](S_n+1)=0$ 因为 $\{a_n\}$ 是正项数列，所以 $S_n>0$。 故 $S_n=n^2+n$。 当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=1^2+1=2$。 当 $n\ge 2$ 时： $a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1{)}^2+(n-1)]$ $a_n=n^2+n-(n^2-2n+1+n-1)=2n$。 由于 $a_1=2$ 符合上式， 所以数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=2n$。

（2）证明： 将 $a_n=2n$ 代入 $b_n$ 得： $b_n=\frac{n+1}{(n+2{)}^2(2n{)}^2}=\frac{n+1}{4n^2(n+2{)}^2}$ 利用裂项技巧： $\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+2{)}^2}=\frac{(n+2{)}^2-n^2}{n^2(n+2{)}^2}=\frac{4n+4}{n^2(n+2{)}^2}=\frac{4(n+1)}{n^2(n+2{)}^2}$ 故 $b_n=\frac{1}{16}\left[\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+2{)}^2}\right]$。 则 $T_n={\sum }_{i=1}^n{b}_i=\frac{1}{16}\left[(1-\frac{1}{3^2})+(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{4^2})+(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{5^2})+\cdots +(\frac{1}{(n-1{)}^2}-\frac{1}{(n+1{)}^2})+(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+2{)}^2})\right]$ 相消后剩下前两项的正号部分与后两项的负号部分： $T_n=\frac{1}{16}\left[1+\frac{1}{4}-\frac{1}{(n+1{)}^2}-\frac{1}{(n+2{)}^2}\right]$ $T_n=\frac{1}{16}\left[\frac{5}{4}-\frac{1}{(n+1{)}^2}-\frac{1}{(n+2{)}^2}\right]$ 由于 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，则 $\frac{1}{(n+1{)}^2}+\frac{1}{(n+2{)}^2}>0$。 所以 $T_n<\frac{1}{16}\cdot \frac{5}{4}=\frac{5}{64}$。 证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：本题完美结合了因式分解、由 $S_n$ 求 $a_n$ 以及裂项相消法。 2. 易错点： * 在第一问中，必须验证 $n=1$ 是否满足通项公式。 * 在第二问裂项时，由于分母是 $n^2$ 与 $(n+2{)}^2$，相消时会剩下两对项（即前两项和后两项），容易漏项。

核心方法：见详细解析

避坑指南：处理 $S_n$ 与 $a_n$ 关系时，务必注意“正项”这一前提条件对根的筛选作用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题完美结合了因式分解、由 $S_n$ 求 $a_n$ 以及裂项相消法。 2. 易错点： * 在第一问中，必须验证 $n=1$ 是否满足通项公式。 * 在第二问裂项时，由于分母是 $n^2$ 与 $(n+2{)}^2$，相消时会剩下两对项（即前两项和后两项），容易漏项。

结论推广：常见的裂项形式有 $\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$。本题是其平方形式的变形。 5. 放缩思路: 证明 $T_n<A$ 时，若 $T_n=A-f(n)$ 且 $f(n)>0$，则直接去掉 $f(n)$ 是最简单的放缩方式。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)