2013-浙江卷文-21 解-导数切线含参最值

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于因式分解求导、候选点列表比较分类的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(文)）已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 (a + 1) x^{2} + 6 a x$ .

(1)若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)若 $∣ a ∣ > 1$ ，求 $f (x)$ 在闭区间 $[0, 2∣ a ∣]$ 上的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

$f^{'} (x) = 6 (x - 1) (x - a)$ 。 $a = 1$ ： $f^{'} (2) = 6$ ， $f (2) = 4$ → $y = 6 x - 8$ 。

$a > 1$ ：极值点 $1$ 、 $a$ 都在 $[0, 2 a]$ 内；候选 $f (0) = 0$ 、 $f (a) = a^{2} (3 - a)$ 、 $f (2 a) = 4 a^{3} > 0$ 。 $a^{2} (3 - a) ⩾ 0$ ⟺ $a ⩽ 3$ → $1 < a ⩽ 3$ 最小值 $0$ ； $a > 3$ 最小值 $a^{2} (3 - a)$ 。

$a < - 1$ ：区间 $[0, - 2 a]$ 内只有极小值点 $x = 1$ （ $x = a < 0$ 在区间外），最小值 $f (1) = 3 a - 1$ 。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $y = 6 x - 8$ ；(2)最小值为 $⎩ ⎨ ⎧ 3 a - 1, 0, a^{2} (3 - a), a < - 1, 1 < a ⩽ 3, a > 3.$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $a = 1$ 时 $f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x$ ， $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 12 x + 6$ ， $f^{'} (2) = 6$ ；又 $f (2) = 16 - 24 + 12 = 4$ 。切线方程： $y - 4 = 6 (x - 2)$ ，即 $y = 6 x - 8$ 。（2） $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 (a + 1) x + 6 a = 6 (x - 1) (x - a)$ 。 ① 当 $a < - 1$ 时，区间为 $[0, - 2 a]$ 。 $x = a$ 不在区间内； $f^{'}$ 在 $(0, 1)$ 内为负、在 $(1, - 2 a)$ 内为正，故 $f$ 在 $[0, 1]$ 递减、 $[1, - 2 a]$ 递增，最小值 $f (1) = 2 - 3 (a + 1) + 6 a = 3 a - 1.$ ② 当 $a > 1$ 时，区间为 $[0, 2 a]$ 。 $f$ 在 $(0, 1)$ 递增、 $(1, a)$ 递减、 $(a, 2 a)$ 递增，候选最小值点： $x = 0$ ， $x = a$ （ $x = 2 a$ 处 $f (2 a) = 4 a^{3} > 0$ 显非最小）。 $f (0) = 0$ ， $f (a) = 2 a^{3} - 3 (a + 1) a^{2} + 6 a^{2} = - a^{3} + 3 a^{2} = a^{2} (3 - a)$ 。当 $1 < a ⩽ 3$ 时 $f (a) ⩾ 0 = f (0)$ ，最小值为 $0$ ；当 $a > 3$ 时 $f (a) < 0$ ，最小值为 $a^{2} (3 - a)$ 。综上，最小值为 $g (a) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 a - 1, 0, a^{2} (3 - a), a < - 1, 1 < a ⩽ 3, a > 3.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数切线与闭区间最值（含参分类）

核心方法： $f^{'} (x) = 6 (x - 1) (x - a)$ ； $a = 1$ 时 $f^{'} (2) = 6$ 、 $f (2) = 4$ → $y = 6 x - 8$ ；(2) $a > 1$ 时比较 $f (0) = 0$ 、 $f (a) = a^{2} (3 - a)$ 、 $f (2 a) = 4 a^{3}$ ， $a < - 1$ 时最小值在 $x = 1$ ： $3 a - 1$

避坑指南：极值点 $x = 1$ 与 $x = a$ 是否落在区间 $[0, 2∣ a ∣]$ 内是分类的总开关： $a > 1$ 时两个极值点都在区间内，最小值只能在 $f (0)$ 、 $f (a)$ 中取（ $f (2 a) = 4 a^{3} > 0$ 恒出局）； $a < - 1$ 时 $x = a$ 在区间外，只剩 $x = 1$ ——漏掉”端点 $f (0) = 0$ 参与比较”会把 $1 < a ⩽ 3$ 段错写成 $a^{2} (3 - a)$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数综合（切线 + 含参闭区间最值），浙江卷导数解答题。

结论推广： $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 (a + 1) x + 6 a = 6 (x - 1) (x - a)$ ； $f (a) = a^{2} (3 - a)$ ， $f (2 a) = 4 a^{3}$ ， $f (1) = 3 a - 1$ 。

方法推广：含参最值标准流程：因式分解求导 → 列出极值点 → 检查极值点与端点是否在给定区间 → 候选值列表比较 → 按 $a$ 的范围分段写出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

20.01 导数定义与几何意义

20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

2014-安徽卷文-20 解-导数分类讨论

2013-新课标II卷文-11 单-三次函数性质

2014-山东卷文-20 解-导数切线单调性

∑ ( Math )

Explorer

2013-浙江卷文-21 解-导数切线含参最值

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks