2013-浙江卷理-14 填-排列

本题导读

本题考查排列组合，以及排列与排列数公式。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 14. 将 A, B, C, D, E, F 六个字母排成一排，且 A, B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有 $\underline{}$ 种（用数字作答）.

🔍【思路分析】

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1. 分析全排列：六个字母的全排列总数为 $A_6^6=720$ 种。
2. 处理核心元素：题目只对 A, B, C 三者的相对位置有要求，D, E, F 的位置随之排列即可。
3. 方法一：等可能性法（倍数法）： 在六个位置中，A, B, C 三个字母的相对排法共有 $A_3^3=6$ 种，分别是： (ABC), (ACB), (BAC), (BCA), (CAB), (CBA)。 其中满足“A, B 均在 C 同侧”的情况有：
   • 同在右侧：(CAB), (CBA)
   • 同在左侧：(ABC), (BAC) 共有 4 种满足条件，占总情况的 $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
4. 方法二：分类讨论法：按 C 所在的位置从左到右依次讨论，计算 A, B 在其同侧的选择数，再乘以剩余元素的排列数。

✅【答案】

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480

✍【详细解析】

Abstract

解法一：利用相对位置概率（推荐） 六个字母全排列的总数为 $A_6^6=720$ 种。 对于任意一种排列，A, B, C 三个字母的相对顺序只有 6 种可能性，且每种可能性出现的次数是相等的。 这 6 种相对顺序中：

• A, B 在 C 同侧（同左）：A-B-C, B-A-C
• A, B 在 C 同侧（同右）：C-A-B, C-B-A
• A, B 在 C 两侧：A-C-B, B-C-A

满足“A, B 均在 C 同侧”的情况共有 4 种。 因此，符合题意的排法总数为： $720\times \frac{4}{6}=480$

解法二：分类讨论法 设六个位置分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6。

1. 若 C 在位置 1，A, B 必在右侧。从剩余 5 个位置选 2 个给 A, B，其余 3 个给 D, E, F：$A_5^5=120$ 种。
2. 若 C 在位置 2，A, B 只能在右侧（位置 3-6）选 2 个：$A_4^2\times A_3^3=12\times 6=72$ 种。
3. 若 C 在位置 3，A, B 可以在左侧（1, 2）选 2 个，或在右侧（4-6）选 2 个：$(A_2^2+A_3^2)\times A_3^3=(2+6)\times 6=48$ 种。 根据对称性，C 在 4, 5, 6 位置的情况数与 3, 2, 1 相同。 总数 $=(120+72+48)\times 2=240\times 2=480$ 种。

故答案为：480。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列组合的应用；特殊元素优先原则；定序问题的转换。

核心方法：“倍数法/比例法”。当题目只涉及部分元素的相对顺序，而不涉及绝对位置时，用全排列除以这部分元素的相对全排列，再乘以符合条件的相对排列数，是最快且最不容易出错的方法。

避坑指南：分类讨论时容易漏掉“A, B 既可以同在左侧，也可以同在右侧”的逻辑，导致结果偏小。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：捆绑法、插空法、隔板法。

结论推广：$n$ 个元素排列，其中 $m$ 个特定元素的相对顺序有要求，符合条件的排法总数通常为 $\frac{A_n^n}{A_m^m}\times k$（其中 $k$ 为符合条件的相对顺序数）。

方法推广：面对“在同侧”或“不相邻”问题，也可以考虑插空法或间接法（总数减去 A, C, B 和 B, C, A 的情况）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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