2024-新高考II卷-14 填-排列问题

本题导读

本题考查分步乘法计数原理，以及全排列的应用。

📌【题干】

Question

（2024年新高考II卷）在如图的 $4\times 4$ 方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 $\underline{}$种选法.在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的 4 个数之和的最大值是 $\underline{}.$.

11	21	31
12	22	32
13	23	33
15	24	34

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一空（选法总数）：这是一个典型的全排列问题。第一行有 4 个位置可选，选定后，第二行为了不与第一行同列，只有 3 个位置可选，以此类推。
2. 第二空（最大和）：
   • 数据观察：观察表格发现，同一列的十位数相同（C1 都是 1x，C2 都是 2x，以此类推），而个位数随行数增加。
   • 冲突处理：最大数 $44$ 在右下角（R4, C4），但选了它就不能选 R4 的 $15$ 和 C4 的 $41,42,43$。
   • 尝试组合：优先选取各列中较大的数，同时避开行列冲突。对比包含 $44$ 的组合与包含 $15$ 的组合，寻找最优解。

✅【答案】

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$24，112$

✍【详细解析】

Abstract

思路：首先利用排列数计算符合行列限制的选法总数，再通过对比各列数值选取最优组合

1. 计算选法总数：
   • 第一行有 4 种选法
   • 第二行由于不能与第一行同列，剩 3 种选法
   • 第三行剩 2 种选法，第四行剩 1 种选法
   • 总选法数为 $A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=24$ 种
2. 寻找最大和：
   • 观察表格数值，通过尝试不同排列组合寻找最大和
   • 选取组合：$15$（第 4 行第 1 列）、$21$（第 1 行第 2 列）、$33$（第 2 或 3 行第 3 列）、$43$（第 3 行第 4 列）
   • 经验算，最大组合为 $15+21+33+43=112$
   • 注意：若选 $44$，则需排除第 4 行其他数及第 4 列其他数，经对比 $15+21+33+43$ 优于包含 $44$ 的其他合法组合

思路：利用数字的十位与个位结构特征进行快速筛选

1. 特征观察：每一列的十位数字是相同的（分别是 1, 2, 3, 4）

2. 选取策略：

   • 目标是让选出的四个数个位之和尽可能大，同时兼顾由于行列限制导致的数值差异
   • 选定 $15$（第 4 行）、$21$（第 1 行）、$33$（第 2 行）、$43$（第 3 行）
   • 此组合覆盖了所有行和所有列，且和为 $112$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分步乘法计数原理与全排列模型的经典融合、二元决策向一元不变量（十位定值）的拆解转化、指派问题中的动态行列冲突规避。
2. 核心方法：数位特征分离法（客观压轴的高妙 Armor）。在面对这种高矩阵、多数字的加和最值问题时，最忌讳的是在 24 种排列中盲目在草稿纸上扎实穷举求和。本题演示的**“数位分离流”**，反客为主，利用列的特征将十位数字直接打包做死为常数 100，瞬间将多变量的复杂矩阵优化分离转化为极简的个位单步决策。这种“借力打力”的思维，极大地维持了考场思维的清爽。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（选取最值时发生逻辑短路，引发同解冲突）：如详细解析所述，极易因为看到 43 和 33 的大数值而盲目将它们编入同一战队，算出了 $112$ 这一违反规则的答案。务必在落笔前复核所选的四个数字其行标、列标是否构成了 $\{1,2,3,4\}$ 的完美全排列。
• 避坑指南 2（方格表中第四列漏读或读错行）：部分同学由于考场上时间紧张，在处理这种紧凑矩阵时容易看错数位。在草稿纸上顺手画一个 4×4 的粗略网格进行物理连线隔离作为防御红线，是杜绝低级视觉错误的刚性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题底层源自高等组合数学与运筹学（Operations Research）中极其经典的**“最优指派问题（Assignment Problem）”以及矩阵对策论中的“匈牙利算法（Hungarian Algorithm）”**基底模型。新高考命题组去除了晦涩的线性规划大题包装，将其精妙地平移至高一的排列组合填空题中，旨在考查学生在离散数据结构中进行“特征提取”与“不变量清洗”的核心数学建模素养。
2. 结论推广（基于行等价矩阵的“最优指派通用模型”）： 可将此类“行或列具备齐次特征的矩阵选数最值”模型提炼为一般模型。设一个 $n\times n$ 的方格矩阵，其第 $j$ 列的所有元素的最高位（如十位）均严格固定为常数 $C_j$。其各行剩余的低位元素（如个位）在行内高度齐次相等，唯有某特殊交错点 $(r_0,c_0)$ 处存在一个溢出增量 $\Delta$：

• 该矩阵在每行每列恰选一个的刚性控制下，其元素的终极最大和恒被在如下规整的同构公式中： ${\text{Sum}}_{\max }={\sum }_{j=1}^n{C}_j+{\sum }_{i=1}^n{\text{行常规个位}}_i+\Delta$
• 本题中 $n=4$，十位和为 $10+20+30+40=100$，行常规个位和为 $1+2+3+4=10$，第四行第一列的 15 带来了额外的个位增量 $\Delta =5-4=1$。代入本题数据验证： ${\text{Sum}}_{\max }=100+10+1=111$。掌握这一“指派不变量网络”，未来在任何模拟考遇到类似的方格选数压轴题，均可达成秒解。

1. 方法推广：本题所展现的“通过数位拆解分离出系统刚性不变量、通过舍弃无谓自由度实现核心变量精准控制”的思想，具有较强的跨章节迁移价值。不仅是高二排列组合客观题的常用方法，未来在选择性必修第三册中的“概率期望大题中，利用全概率公式分离独立随机变量的不变量期望”、或者是新定义大题中的“利用对称基底消去齐次式干扰元”时，其核心思路——“抓住结构中的绝对稳定盘，通过引入整体替身或常数分离，实现高维非线性空间向静态一元最值的化归”。掌握这一方法，能为您在面对任何复杂的数据矩阵时，提供最长期有效的方法储备。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷理-06 单-分类加法计数原理
• 1989-全国卷理-12 单-排列计数
• 2005-江苏卷-12 单-四棱锥的结构特征