2013-浙江卷理-17 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及数量积的运算律。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 17. 设 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 为单位向量，非零向量 $\vec{b}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$，$x,y\in \mathbf{R}$.若 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 的夹角为 $30^{\circ }$，则 $\frac{|x|}{|\vec{b}|}$ 的最大值等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开向量模：利用 $|\vec{b}{|}^2=(x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}{)}^2$ 展开，利用单位向量模为 $1$ 和夹角 $30^{\circ }$ 的条件计算数量积部分。
2. 构建代数式：将 $\frac{|x|}{|\vec{b}|}$ 表示为关于 $x,y$ 的代数分式。
3. 齐次化降元：由于分子分母关于 $x,y$ 的齐次性（次数均为 $1$），可以分子分母同除以 $|x|$（$x\ne 0$），将式子转化为关于 $t=\frac{y}{x}$ 的一元函数。
4. 求最值：利用二次函数的配方法求分母的最小值，从而得到整个分式的最大值。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算向量模的平方 已知 $|\overrightarrow{e_1}|=1,|\overrightarrow{e_2}|=1$，$⟨\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}⟩=30^{\circ }$。 则 $\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}=1\times 1\times \cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 $|\vec{b}{|}^2=(x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}{)}^2=x^2{\overrightarrow{e_1}}^2+2xy\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}+y^2{\overrightarrow{e_2}}^2$ $|\vec{b}{|}^2=x^2+\sqrt{3}xy+y^2$

第二步：目标式变形 我们要计算 $\frac{|x|}{|\vec{b}|}$ 的最大值，等价于求 $\frac{x^2}{|\vec{b}{|}^2}$ 的最大值： $\frac{x^2}{|\vec{b}{|}^2}=\frac{x^2}{x^2+\sqrt{3}xy+y^2}$

若 $x=0$，则原式为 $0$，不是最大值。当 $x\ne 0$ 时，分子分母同除以 $x^2$： $\frac{x^2}{|\vec{b}{|}^2}=\frac{1}{1+\sqrt{3}\left(\frac{y}{x}\right)+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}$

第三步：利用配方法求最值 令 $t=\frac{y}{x}$，分母为 $f(t)=t^2+\sqrt{3}t+1$。 对分母进行配方： $f(t)={\left(t+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2={\left(t+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$

当 $t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，分母取得最小值 $f(t{)}_{\min }=\frac{1}{4}$。 此时，$\frac{x^2}{|\vec{b}{|}^2}$ 取得最大值： ${\left(\frac{x^2}{|\vec{b}{|}^2}\right)}_{\max }=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$

第四步：得出结论 因此，$\frac{|x|}{|\vec{b}|}$ 的最大值为 $\sqrt{4}=2$。

故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积的定义与运算律；向量模的代数转化。

核心方法：齐次化思想。在解析几何或向量最值问题中，若表达式中各项关于变量的次数相同，通过除以其中一个变量转化为一元函数是极其高效的降维打击。

避坑指南：计算时不要漏掉数量积公式中的 $2$。另外，求出的结果是平方后的最值，最后一步开方时需细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：柯西不等式、向量投影的几何意义。

结论推广：若 $\vec{b}=m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}$，则 $\frac{|\overrightarrow{e_1}|}{|\vec{b}|}$ 型的最值点通常出现在投影或垂线方向相关的特定位置。

方法推广：面对 $f(x,y)=\frac{A{x}^2+Bxy+C{y}^2}{D{x}^2+Exy+F{y}^2}$ 类型，通用方法均为设 $t=\frac{y}{x}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2015-湖北卷文-11 填-向量数量积
• 2015-浙江卷文-13 填-向量数量积