2023-新高考II卷-13 填-平面向量

本题导读

本题考查平面向量数量积的运算律，以及平面向量的模。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）已知向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}$，$|\vec{a}+\vec{b}|=|2\vec{a}-\vec{b}|$，则 $|\vec{b}|=$ $\underline{}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 模与数量积的转化：处理向量模的等式，最常用的方法是“两边平方”，利用 $|\vec{v}{|}^2={\vec{v}}^2$。
2. 联立方程组：

• 对 $|\vec{a}+\vec{b}|=|2\vec{a}-\vec{b}|$ 平方展开，可以得到 ${\vec{a}}^2$ 与 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的某种数量关系。
• 对 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}$ 平方展开，得到包含 ${\vec{a}}^2,\vec{a}\cdot \vec{b},{\vec{b}}^2$ 的等式。

3. 整体代换：观察两个展开式中的共同项（如 ${\vec{a}}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$），通过代换消去未知量，直接求出 $|\vec{b}|$。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解法一：直接运算法（平方展开） 第一步：平方处理等式 $|\vec{a}+\vec{b}|=|2\vec{a}-\vec{b}|$ 两边平方得： $(\vec{a}+\vec{b}{)}^2=(2\vec{a}-\vec{b}{)}^2$ 展开得： ${\vec{a}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2=4{\vec{a}}^2-4\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2$ 移项合并同类项： $3{\vec{a}}^2-6\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 整理得：${\vec{a}}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ —— ①

第二步：平方处理已知模长 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}$ 两边平方得： $(\vec{a}-\vec{b}{)}^2=3$ 展开得： ${\vec{a}}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2=3$ —— ②

第三步：联立代换求解 将式 ① 中的 ${\vec{a}}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 整体代入式 ② 中： $0+{\vec{b}}^2=3$ 所以 $|\vec{b}{|}^2=3$，解得 $|\vec{b}|=\sqrt{3}$。

解法二：换元法（整体思想） 设 $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$，则根据题意 $|\vec{c}|=\sqrt{3}$。 则 $\vec{a}=\vec{c}+\vec{b}$。代入条件式 $|\vec{a}+\vec{b}|=|2\vec{a}-\vec{b}|$： $|(\vec{c}+\vec{b})+\vec{b}|=|2(\vec{c}+\vec{b})-\vec{b}|$ $|\vec{c}+2\vec{b}|=|2\vec{c}+\vec{b}|$ 两边平方： $(\vec{c}+2\vec{b}{)}^2=(2\vec{c}+\vec{b}{)}^2$ ${\vec{c}}^2+4\vec{c}\cdot \vec{b}+4{\vec{b}}^2=4{\vec{c}}^2+4\vec{c}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2$ 化简得： $3{\vec{b}}^2=3{\vec{c}}^2⟹|\vec{b}{|}^2=|\vec{c}{|}^2$ 由于 $|\vec{c}|=\sqrt{3}$，所以 $|\vec{b}|=\sqrt{3}$。

故答案为：$\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量模与平方的转化规律 $|\vec{v}{|}^2={\vec{v}}^2$、数量积的分配律与结合律。
2. 核心方法：直接运算法（平方展开）、整体代换法。
3. 避坑指南：处理此类问题时，切忌设坐标强行求解。通过平方展开寻找公共部分（如本题中的 ${\vec{a}}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$）进行整体代换是最高效的解题路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查平面向量的代数运算，属于高考常见的向量运算填空题，侧重于算理的熟练运用。
2. 结论推广：在向量问题中，凡是出现两个不同线性组合的模长相等（如 $|m\vec{a}+n\vec{b}|=|p\vec{a}+q\vec{b}|$），其本质必是指向 ${\vec{a}}^2$、${\vec{b}}^2$ 与 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 之间的线性等量约束。通过平方操作揭示该约束，再结合另外的条件等式，即可解出未知的模或夹角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2013-浙江卷理-17 填-向量数量积
• 2008-上海卷文-05 填-向量和的模