2013-湖北卷文-09 单-线性规划租车

本题导读

本题考查简单的线性规划，以及不等式的整数解。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(文)） 某旅行社租用 $A$，$B$ 两种型号的客车安排 $900$ 名客人旅行，$A$，$B$ 两种车辆的载客量分别为 $36$ 人和 $60$ 人，租金分别为 $1600$ 元/辆和 $2400$ 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 $21$ 辆，且 $B$ 型车不多于 $A$ 型车 $7$ 辆，则租金最少为()

A. $31200$ 元　　　B. $36000$ 元　　　C. $36800$ 元　　　D. $38400$ 元

🔍【思路分析】

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1. 单位成本：A $\frac{1600}{36}\approx 44.4$ 元/人，B $\frac{2400}{60}=40$ 元/人 → 尽量租 B。
2. $B$ 不多于 $A$ 的 $7$ 辆 → 取 $y=x+7$：载客 $36x+60(x+7)=96x+420⩾900$ → $x⩾5$。
3. $x=5$，$y=12$：载客 $180+720=900$ ✓，车 $17⩽21$ ✓，租金 $1600\times 5+2400\times 12=36800$ 元。$x=4$ 时载客不足，$x$ 更大租金更高。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

$A$ 型车每运 $1$ 人花 $\frac{1600}{36}\approx 44.4$ 元，$B$ 型车每运 $1$ 人花 $\frac{2400}{60}=40$ 元，故在约束内尽量多租 $B$ 型车。 由”$B$ 型车不多于 $A$ 型车 $7$ 辆”，取极限 $y=x+7$（$x$，$y$ 为车辆数）： $36x+60(x+7)=96x+420⩾900\Rightarrow x⩾5.$ 当 $x=5$，$y=12$：载客 $36\times 5+60\times 12=900$，恰好满载；租车 $17$ 辆 $⩽21$ 满足要求。 租金 $W=1600\times 5+2400\times 12=8000+28800=36800(元).$ 验证更少 $A$ 型车不可行：$x=4$，$y⩽11$ 时最多载 $36\times 4+60\times 11=804<900$，不满足。 增大 $x$ 或 $y$ 只会增加租金。 故租金最少为 $36800$ 元。 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划（整数最优决策）

核心方法：单人成本：A $\frac{1600}{36}\approx 44.4$ 元/人 > B $40$ 元/人 → 尽量租 B；约束 $y⩽x+7$ → $x=5$，$y=12$ 恰载 $900$ 人，租金 $36800$ 元

避坑指南：先算单位载客成本定”尽量租 B”，再由 $y⩽x+7$ 把 $y$ 推到极限 $y=x+7$、逐步增 $x$ 直到载客量达标——$x=5$ 时 $96x+420=900$ 恰好达标（一人都不少），租金 $36800$；少一辆 B（$x=4$）载客不够，多租只更贵。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划与整数决策（租车问题，湖北卷选择题压轴前哨）。

结论推广：单位成本比较定向；边界代入试整数。

方法推广：比较单人成本 → 沿 $y=x+7$ 试整数点 → 验证载客与租金。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-15 填-线性规划
• 2013-安徽卷文-12 填-线性规划非负
• 2013-广东卷文-13 填-线性规划最值