2013-安徽卷文-12 填-线性规划非负

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(文)） 若非负变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $x-y⩾-1$，$x+2y⩽4$，则 $x+y$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 约束即 $y⩽x+1$，$x+2y⩽4$，$x,y⩾0$。
2. 顶点：$(0,0)$、$(4,0)$、$\left(\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right)$、$(0,2)$。
3. $z=x+y$：$0$、$4$、$3$、$2$ → 最大 $4$。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

约束条件为 $y⩽x+1,x+2y⩽4,x⩾0,y⩾0.$ 画出可行域（四边形），顶点为 $(0,0),(4,0),\left(\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right),(0,2).$ （$\left(\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right)$ 由 $y=x+1$ 与 $x+2y=4$ 联立：$x+2x+2=4\Rightarrow x=\frac{2}{3}$。） 目标函数 $z=x+y$ 在各顶点的值：$0$，$4$，$3$，$2$。 故 $z$ 的最大值为 $4$（在 $(4,0)$ 处取得）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：非负变量约束下的线性规划

核心方法：可行域顶点 $(0,0)$、$(2,0)$、$\left(\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right)$、$(0,2)$，$z=x+y$ 最大 $4$（在 $(4,0)$）

避坑指南：题设非负 $x,y⩾0$ 是隐含的两个边界，画域时别漏——顶点 $(4,0)$ 就在 $x$ 轴上；逐顶点代入 $z=x+y$ 比较即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：简单的线性规划（隐含非负约束，安徽卷填空）。

结论推广：画可行域定顶点；线性目标在顶点处取最值。

方法推广：补上 $x,y⩾0$ → 求四边形顶点 → 逐点代入比较。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-15 填-线性规划
• 2013-新课标I卷文-14 填-线性规划
• 2013-新课标II卷文-03 单-线性规划