2013-湖北卷理-03 单-非、或、且

本题导读

本题考查常用逻辑用语，以及逻辑联结词。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题 $p$ 是“甲降落在指定范围”，$q$ 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()

A. $(\neg p)\vee (\neg q)$　　　　B. $p\vee (\neg q)$　　　　C. $(\neg p)\wedge (\neg q)$　　　　D. $p\vee q$

🔍【思路分析】

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1. 翻译原子命题的否定：
   • “甲没有降落在指定范围”即命题 $p$ 的否定，记为 $\neg p$。
   • “乙没有降落在指定范围”即命题 $q$ 的否定，记为 $\neg q$。
2. 分析逻辑联结词：
   • “至少有一个”在逻辑上对应“或”关系（$\vee$）。即只要 $\neg p$ 成立或者 $\neg q$ 成立，原命题就成立。
3. 对立面分析（间接法）：
   • “至少有一个没有”的否定是“全部都降落了”。
   • “全部都降落了”表示为 $p\wedge q$。
   • 对其取否定得 $\neg (p\wedge q)$，根据德·摩根定律，这等价于 $(\neg p)\vee (\neg q)$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：拆解命题语义 待表示命题为：“至少有一位学员没有降落在指定范围”。 这句话包含两种基本情况或其并集：

• 情况1：甲没有降落在指定范围（即 $\neg p$ 成立）。
• 情况2：乙没有降落在指定范围（即 $\neg q$ 成立）。

第二步：组合逻辑符号 “至少有一位”意味着“甲没有”或者“乙没有”，或者“两人都没有”。 在逻辑学中，这对应于“或”联结词 ($\vee$)。 因此，该命题表示为：$(\neg p)\vee (\neg q)$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：逻辑联结词 $\neg$（非）、$\vee$（或）、$\wedge$（且）的语义对应。

核心方法：“词语对译法”。 - “至少有一个” $\to$ 或 ($\vee$) - “至多有一个” $\to$ 否定“至少两个” - “都没有” $\to$ 且 ($\wedge$) 且均为否定

避坑指南：容易错选 C。注意“且” ($\wedge$) 表示两人都没有降落，这只是“至少有一个没有”的一种特定子情况，不能代表全貌。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充分条件与必要条件、全称量词与存在量词。

结论推广：德·摩根定律是此类题目的理论基础：$\neg (p\wedge q)\equiv (\neg p)\vee (\neg q)$。

方法推广：在处理含有量词的复杂命题时，先找准否定词，再处理联结词。

🔗【关联脉络】

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• 02.01 常用逻辑用语

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