2013-湖北卷理-14 填-多边形数

本题导读

本题考查归纳推理，以及多边形数。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） 古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 $1,3,6,10,\dots$，第 $n$ 个三角形数为 $\frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n$.记第 $n$ 个 $k$ 边形数为 $N(n,k)$ ($k\ge 3$)，以下列出了部分 $k$ 边形数中第 $n$ 个数的表达式：

• 三角形数：$N(n,3)=\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n$
• 正方形数：$N(n,4)=n^2=1n^2+0n$
• 五边形数：$N(n,5)=\frac{3}{2}{n}^2-\frac{1}{2}n$
• 六边形数：$N(n,6)=2n^2-1n$

可以推测 $N(n,k)$ 的表达式，由此计算 $N(10,24)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察 $n^2$ 项系数的规律：
   • 当 $k=3$ 时，系数为 $\frac{1}{2}$；
   • 当 $k=4$ 时，系数为 $1=\frac{2}{2}$；
   • 当 $k=5$ 时，系数为 $\frac{3}{2}$；
   • 当 $k=6$ 时，系数为 $2=\frac{4}{2}$。 系数构成的数列为：$\frac{1}{2},\frac{2}{2},\frac{3}{2},\frac{4}{2},\dots$，发现分子比 $k$ 少 $2$。 推测 $n^2$ 的系数为 $\frac{k-2}{2}$。
2. 观察 $n$ 项系数的规律：
   • 当 $k=3$ 时，系数为 $\frac{1}{2}$；
   • 当 $k=4$ 时，系数为 $0=\frac{0}{2}$；
   • 当 $k=5$ 时，系数为 $-\frac{1}{2}$；
   • 当 $k=6$ 时，系数为 $-1=-\frac{2}{2}$。 系数构成的数列为：$\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2},-1,\dots$，这是一个等差数列。 推测 $n$ 的系数为 $\frac{4-k}{2}$（或者写成 $1-\frac{k-2}{2}=\frac{4-k}{2}$）。
3. 构造一般通项公式： $N(n,k)=\frac{k-2}{2}{n}^2+\frac{4-k}{2}n$。
4. 代入计算：将 $n=10,k=24$ 代入公式求值。

✅【答案】

点击查看答案

1000

✍【详细解析】

Abstract

第一步：归纳系数关系 设 $N(n,k)=f(k)n^2+g(k)n$。 观察表格：

$k$	$f(k)$ ($n^2$ 系数)	$g(k)$ ($n$ 系数)
3	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
4	$1$	$0$
5	$\frac{3}{2}$	$-\frac{1}{2}$
6	$2$	$-1$

由此发现：

• $f(k)$ 是首项为 $\frac{1}{2}$，公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列（关于 $k$ 的变量），即 $f(k)=\frac{1}{2}+(k-3)\times \frac{1}{2}=\frac{k-2}{2}$。
• $g(k)$ 是首项为 $\frac{1}{2}$，公差为 $-\frac{1}{2}$ 的等差数列，即 $g(k)=\frac{1}{2}+(k-3)\times (-\frac{1}{2})=\frac{1-k+3}{2}=\frac{4-k}{2}$。

第二步：写出一般表达式 $N(n,k)=\frac{k-2}{2}{n}^2+\frac{4-k}{2}n$

第三步：求 $N(10,24)$ 代入 $n=10,k=24$： $N(10,24)=\frac{24-2}{2}\times 10^2+\frac{4-24}{2}\times 10$ $N(10,24)=\frac{22}{2}\times 100+\frac{-20}{2}\times 10$ $N(10,24)=11\times 100-10\times 10=1100-100=1000$

故答案为：1000。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列通项公式的应用及归纳推理。 2. 核心技巧：“分项对齐观察”。将复杂的公式拆解为 $n^2$ 与 $n$ 两部分分别寻找关于 $k$ 的规律。

核心方法：见详细解析

避坑指南：计算 $g(k)$ 时容易弄错公差方向，一定要代入 $k=4$ 或 $k=6$ 进行验算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：费马多边形数定理（任何正整数都可以表示为至多 $k$ 个 $k$ 边形数之和）。

结论推广：任意正 $k$ 边形数的递归定义为 $N(n,k)=N(n-1,k)+(k-2)(n-1)+1$。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷文-17 填-格点多边形