2013-湖南卷文-07 单-三视图面积

本题导读

本题考查空间几何体的三视图。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(文)） 已知正方体的棱长为 $1$，其俯视图是一个面积为 $1$ 的正方形，侧视图是一个面积为 $\sqrt{2}$ 的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$　　　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 俯视图是面积 $1$ 的正方形 → 棱长 $1$，高为 $1$。
2. 侧视图面积 $\sqrt{2}$、高 $1$ → 宽 $\sqrt{2}$（对角线朝向投影）。
3. 正视图与侧视图同宽 $\sqrt{2}$、同高 $1$ → 面积 $\sqrt{2}$。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

正方体棱长为 $1$，高为 $1$。 俯视图是面积为 $1$ 的正方形，说明从上往下看轮廓未”张开”； 侧视图是面积为 $\sqrt{2}$ 的矩形，高为 $1$，故宽为 $\sqrt{2}$——即正方体相对投影方向旋转了 $45^{\circ }$，投影宽恰为面对角线长 $\sqrt{2}$。 正视图与侧视图宽度相同（同一水平旋转角），高同为 $1$，故正视图面积为 $\sqrt{2}\times 1=\sqrt{2}.$ 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图（正方体斜放）

核心方法：侧视图是面积 $\sqrt{2}$ 的矩形 → 投影宽 $\sqrt{2}$、高 $1$ → 正（主）视图同为宽 $\sqrt{2}$、高 $1$ 的矩形，面积 $\sqrt{2}$

避坑指南：正方体绕竖直轴旋转 $45^{\circ }$ 时，俯视图是对角线朝向的正方形（面积仍 $1$），侧视图宽变成对角线长 $\sqrt{2}$——俯视图面积不变、侧视变宽，正视图与侧视同宽，直接得面积 $\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图与投影（旋转正方体，湖南卷选择题）。

结论推广：投影还原；对角线宽。

方法推广：由侧视图读宽与高 → 正视图同宽 → 算面积。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-10 填-三视图体积
• 2013-山东卷文-04 单-三视图正四棱锥
• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积