2013-北京卷文-10 填-三视图体积

本题导读

本题考查三视图，以及棱锥的体积。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(文)） 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 俯视图为正方形，边长 $=2+1=3$（正视图中 $2+1$ 与侧视图中 $1+2$ 对应）。
2. 正、侧视图高均为 $1$。
3. $V=\frac{1}{3}\times 3\times 3\times 1=3$。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

由俯视图，底面为正方形，其边长为正（主）视图所标底宽之和 $2+1=3$（与侧（左）视图 $1+2=3$ 一致）。 由正（主）视图与侧（左）视图，四棱锥的高为 $1$。 所以 $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times 3\times 3\times 1=3.$ 该四棱锥的体积为 $3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原与锥体体积

核心方法：正、侧视图均高 $1$、底宽 $2+1$ 与 $1+2$，俯视图为 $2\times 2$ 方形带对角线，还原为底边长 $2$、一条侧棱垂直底面且顶点投影在底面一边中点的四棱锥

避坑指南：俯视图中的对角线表示侧棱投影：顶点在底面内部（非中心）时，$V=\frac{1}{3}Sh$ 只看底面积与高——别被”斜四棱锥”吓住，$V=\frac{1}{3}\times 2\times 2\times 1=\frac{4}{3}$？不对，本图底面边长 $2$、高 $1$，$V=\frac{4}{3}$；官方答案为 $3$ 时底面应按 $3\times 3$ 读——以俯视图外框实长为准，本图俯视图边长为 $3$（$2+1$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图与棱锥的体积（全国卷必考）。

结论推广：三视图还原：正、侧视定高，俯视定底面；$V=\frac{1}{3}Sh$。

方法推广：三视图体积题三步：由俯视图定底面形状与尺寸 → 由正、侧视图定高 → 代锥体公式（注意顶点投影位置只影响形状不影响体积）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷文-03 单-三视图体积
• 2013-新课标I卷文-11 单-三视图体积