2013-湖南卷文-13 填-线性规划最值

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(文)） 若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+2y⩽8,\\ 0⩽x⩽4,\\ 0⩽y⩽3,\end{array}$ 则 $x+y$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 可行域顶点：$(0,0)$，$(4,0)$，$(4,2)$，$(2,3)$，$(0,3)$。
2. $z$ 值：$0$，$4$，$6$，$5$，$3$。
3. 最大 $z=6$（在 $(4,2)$）。

✅【答案】

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$6$

✍【详细解析】

Abstract

画出可行域：由 $x+2y=8$ 与 $x=4$ 交于 $(4,2)$，与 $y=3$ 交于 $(2,3)$，结合 $0⩽x⩽4$，$0⩽y⩽3$，可行域是以 $(0,0),(4,0),(4,2),(2,3),(0,3)$ 为顶点的五边形。 线性目标 $z=x+y$ 在顶点处取最值： $0,4,6,5,3.$ 故 $z_{\max }=6$（在点 $(4,2)$ 处取得）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划（最值）

核心方法：可行域顶点 $(0,0),(4,0),(4,2),(2,3),(0,3)$，$x+y$ 在 $(4,2)$ 取最大 $6$

避坑指南：$x+2y⩽8$ 与 $x⩽4$ 的交点 $(4,2)$ 是最优点——目标 $z=x+y$ 沿 $(1,1)$ 方向增大，先碰到的最后一个顶点；漏画 $0⩽y⩽3$ 会把点算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：简单的线性规划（顶点代入比较，湖南卷填空）。

结论推广：画可行域定顶点；顶点代入比较。

方法推广：画区域 → 列顶点 → 算 $z$ 取最大。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-15 填-线性规划
• 2013-安徽卷文-12 填-线性规划非负
• 2013-广东卷文-13 填-线性规划最值